1. Каково относительное изменение полной энергии маятника при уменьшении амплитуды в 1,1 раза за данный период?

Золотой_Ключ_8815

68

1. Чтобы определить относительное изменение полной энергии маятника при уменьшении амплитуды в 1,1 раза, нам нужно знать формулу для полной энергии маятника и как она связана с амплитудой колебаний.

Формула для полной энергии маятника имеет вид:

\[E = K + U,\]

где \(E\) - полная энергия маятника, \(K\) - кинетическая энергия маятника, а \(U\) - потенциальная энергия маятника.

Кинетическая энергия маятника определяется формулой:

\[K = \frac{1}{2} m v^2,\]

где \(m\) - масса маятника, а \(v\) - его скорость.

Потенциальная энергия маятника определяется формулой:

\[U = mgh,\]

где \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота подъема маятника.

Амплитуда колебаний маятника связана с высотой подъема \(h\) следующим образом: \(h = A - l\), где \(A\) - амплитуда колебаний маятника, а \(l\) - длина нити маятника.

Исходя из этой связи, мы можем записать изменение высоты подъема при уменьшении амплитуды в 1,1 раза:

\(\Delta h = A - l - (1.1A - l) = -0.1A,\)

где \(\Delta h\) - изменение высоты подъема маятника.

Теперь мы можем рассчитать изменение потенциальной энергии маятника:

\(\Delta U = mgh - mg(A - l) = mg(0.1A).\)

Далее, нам нужно учесть, что полная энергия маятника равна сумме его кинетической и потенциальной энергии:

\[E = \frac{1}{2} m v^2 + mgh.\]

Определим изменение полной энергии при уменьшении амплитуды:

\(\Delta E = \frac{1}{2} m (v^2 - (v - \Delta v)^2) + mg(0.1A).\)

Раскрывая скобки и упрощая эту формулу, мы получаем:

\(\Delta E = \frac{1}{2} m (2v \Delta v - \Delta v^2) + mg(0.1A).\)

Учитывая, что \(\Delta v\) очень мало по сравнению с \(v\), мы можем пренебречь \(\Delta v^2\). Тогда формула упрощается:

\(\Delta E \approx m v \Delta v + mg(0.1A).\)

Известно, что \(v = 2 \pi A / T\), где \(T\) - период колебаний маятника. Подставим это выражение в наше уравнение:

\(\Delta E \approx \frac{2 \pi m A}{T} \Delta v + mg(0.1A).\)

Теперь, чтобы найти относительное изменение полной энергии, мы делим изменение полной энергии на исходную полную энергию:

\(\frac{\Delta E}{E} = \frac{\frac{2 \pi m A}{T} \Delta v + mg(0.1A)}{\frac{1}{2} m \left(\frac{2 \pi A}{T}\right)^2 + mg(A - l)}.\)

Упростим это выражение:

\(\frac{\Delta E}{E} = \frac{2 \pi \Delta v}{2 \pi^2 + 0.1 g T^2}.\)

Таким образом, относительное изменение полной энергии маятника при уменьшении амплитуды в 1,1 раза составляет:

\(\frac{\Delta E}{E} = \frac{10 \Delta v}{\pi(20 + g T^2)}.\)

2. Чтобы определить, во сколько раз периоды колебаний математического маятника и стержня отличаются, нам нужно знать формулы для периодов этих маятников.

Для математического маятника период колебаний определяется формулой:

\[T_m = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}},\]

где \(T_m\) - период колебаний математического маятника, \(l\) - его длина, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Для стержня, подвешенного за один конец, период колебаний определяется формулой:

\[T_s = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{2g}},\]

где \(T_s\) - период колебаний стержня.

Исходя из этих формул, мы можем найти отношение периодов:

\(\frac{T_m}{T_s} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}}{2 \pi \sqrt{\frac{l}{2g}}} = \sqrt{\frac{2g}{g}} = \sqrt{2}.\)

Таким образом, периоды колебаний математического маятника и стержня с длиной, равной длине маятника, и подвешенного за один конец, отличаются в \(\sqrt{2}\) раза.