№1 Каково уравнение прямой, относительно которой точка а1 (−3; 1) симметрична точке а (−5; 3)? №2 Каково уравнение

Baronessa

30

№1 Для того чтобы найти уравнение прямой, относительно которой точка \(A_1(-3; 1)\) симметрична точке \(A(-5; 3)\), нужно использовать свойство симметрии относительно прямой.

Координаты середины между точками \(A\) и \(A_1\) можно найти следующим образом:

\[x_m = \frac{{x + x_1}}{2}, \quad y_m = \frac{{y + y_1}}{2}\]

Подставим значения для точек \(A(-5; 3)\) и \(A_1(-3; 1)\) в эти формулы:

\[x_m = \frac{{-5 + (-3)}}{2} = \frac{{-8}}{2} = -4, \quad y_m = \frac{{3 + 1}}{2} = \frac{{4}}{2} = 2\]

Таким образом, середина отрезка, соединяющего точки \(A\) и \(A_1\), имеет координаты \((-4; 2)\).

Теперь мы знаем, что прямая, относительно которой точка \(A_1\) симметрична \(A\), проходит через середину отрезка \(M(-4; 2)\). Угловой коэффициент этой прямой можно найти, используя разницу координат точек \(A\) и \(A_1\):

\[k = \frac{{y-y_1}}{{x-x_1}}\]

Подставим значения точек \(A(-5; 3)\) и \(A_1(-3; 1)\) в эту формулу:

\[k = \frac{{3 - 1}}{{-5 - (-3)}} = \frac{2}{-2} = -1\]

Теперь мы знаем угловой коэффициент прямой, а также координаты одной из точек на этой прямой, а именно середины отрезка \(M(-4; 2)\). Теперь можно записать уравнение прямой в форме \(y = kx + b\), где \(b\) - это коэффициент, который нужно найти. Подставим полученные значения:

\[2 = -1 \cdot -4 + b\]

\[2 = 4 + b\]

\[b = 2 - 4 = -2\]

Таким образом, уравнение прямой, относительно которой точка \(A_1(-3; 1)\) симметрична точке \(A(-5; 3)\), будет иметь вид \(y = -x - 2\).

№2 Для того чтобы найти уравнение кривой, в которую преобразуется парабола \(y = x^2 - 7x + 5\) при отображении относительно начала координат, нужно использовать свойство симметрии относительно начала координат.

При таком преобразовании каждая точка \((x, y)\) будет отображаться в точку \((-x, -y)\). Используя это свойство, запишем новое уравнение кривой:

\[y = (-x)^2 - 7(-x) + 5\]

\[y = x^2 + 7x + 5\]

Таким образом, уравнение кривой, в которую преобразуется парабола \(y = x^2 - 7x + 5\) при отображении относительно начала координат, будет иметь вид \(y = x^2 + 7x + 5\).

№3 Чтобы найти координаты концов отрезка \(A_1B_1\), получающегося в результате поворота отрезка \(AB\) с конечными точками \(A(-3; 2)\) и \(B(4; -5)\) на 180° вокруг начала координат, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите разность между координатами начальной и конечной точек отрезка \(AB\):

\[\Delta x = x_B - x_A = 4 - (-3) = 7\]
\[\Delta y = y_B - y_A = -5 - 2 = -7\]

Получаем \(\Delta x = 7\) и \(\Delta y = -7\).

2. Поверните разность координат на 180° вокруг начала координат, меняя знаки:

\(\Delta x_{\text{новое}} = -\Delta x = -7\)
\(\Delta y_{\text{новое}} = -\Delta y = 7\)

Получаем \(\Delta x_{\text{новое}} = -7\) и \(\Delta y_{\text{новое}} = 7\).

3. Прибавьте измененные разности координат к конечной точке отрезка \(AB\) для получения координат конечной точки отрезка \(A_1B_1\):

\(x_{B_1} = x_B + \Delta x_{\text{новое}} = 4 - 7 = -3\)
\(y_{B_1} = y_B + \Delta y_{\text{новое}} = -5 + 7 = 2\)

Получаем \(x_{B_1} = -3\) и \(y_{B_1} = 2\).

Таким образом, координаты конечных точек отрезка \(A_1B_1\) после поворота на 180° вокруг начала координат будут \((-3; 2)\) и \((-3; 2)\).