Какова длина вектора а1б, если длина вектора аа1 равна 15, а длина вектора аб равна

Космическая_Звезда

50

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины вектора \( \overrightarrow{a_{1}b} \).

Из условия известно, что длина вектора \( \overrightarrow{aa_{1}} \) равна 15, а длина вектора \( \overrightarrow{ab} \) равна \( x \) (полученная нами в процессе решения).

Теорема Пифагора для векторов гласит:
\[ |\overrightarrow{ab}|^2 = |\overrightarrow{aa_{1}}|^2 + |\overrightarrow{a_{1}b}|^2 \]

В нашем случае, это примет вид:
\[ x^2 = 15^2 + |\overrightarrow{a_{1}b}|^2 \]

Теперь нам нужно выразить длину вектора \( \overrightarrow{a_{1}b} \). Для этого перепишем последнее уравнение следующим образом:
\[ |\overrightarrow{a_{1}b}|^2 = x^2 - 15^2 \]

Теперь рассмотрим вторую часть уравнения. По теореме Пифагора для вектора \( \overrightarrow{aa_{1}} \), мы можем записать:
\[ |\overrightarrow{aa_{1}}|^2 = |\overrightarrow{ab}|^2 + |\overrightarrow{b_{1}a_{1}}|^2 \]

Учитывая, что длина вектора \( \overrightarrow{aa_{1}} \) равна 15, и длина вектора \( \overrightarrow{ab} \) равна \( x \), то у нас получится следующее уравнение:
\[ 15^2 = x^2 + |\overrightarrow{b_{1}a_{1}}|^2 \]

Теперь нам нужно выразить длину вектора \( \overrightarrow{b_{1}a_{1}} \):
\[ |\overrightarrow{b_{1}a_{1}}|^2 = 15^2 - x^2 \]

Таким образом, мы получили два выражения для \( |\overrightarrow{a_{1}b}|^2 \) и \( |\overrightarrow{b_{1}a_{1}}|^2 \):
\[ |\overrightarrow{a_{1}b}|^2 = x^2 - 15^2 \]
\[ |\overrightarrow{b_{1}a_{1}}|^2 = 15^2 - x^2 \]

Нам известно, что длина вектора \( \overrightarrow{a_{1}b} \) и длина вектора \( \overrightarrow{b_{1}a_{1}} \) одинаковы, поэтому:
\[ |\overrightarrow{a_{1}b}|^2 = |\overrightarrow{b_{1}a_{1}}|^2 \]

Теперь мы можем приравнять две формулы:
\[ x^2 - 15^2 = 15^2 - x^2 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 - 15^2 = 15^2 - x^2 \]

\[ 2x^2 = 2 \cdot 15^2 \]

\[ 2x^2 = 450 \]

\[ x^2 = \frac{450}{2} \]

\[ x^2 = 225 \]

\[ x = \sqrt{225} \]

\[ x = 15 \]

Таким образом, получаем, что длина вектора \( \overrightarrow{a_{1}b} \) равна 15.