1) Каково значение средней угловой скорости в течение первых четырех секунд движения, если тело вращается вокруг

Chudesnyy_Master

56

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие формулы:

1) Средняя угловая скорость \(\omega_{\text{ср}}\) определяется как изменение угла \(\varphi\) на протяжении определенного времени \(\Delta t\):

\[
\omega_{\text{ср}} = \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}}
\]

В данной задаче нам дан закон изменения угла \(\varphi\) в зависимости от времени \(t\):

\[
\varphi = 10 + 20t - 2t^2
\]

Чтобы найти среднюю угловую скорость за первые 4 секунды движения, мы подставим \(t = 4\) и \(t = 0\) в формулу и найдем разность между ними:

\[
\Delta \varphi = \varphi(4) - \varphi(0)
\]

\(\Delta \varphi\) можно вычислить следующим образом:

\[
\Delta \varphi = (10 + 20 \cdot 4 - 2 \cdot 4^2) - (10 + 20 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2)
\]

2) Для определения нормального, тангенциального и полного ускорений нам понадобятся следующие формулы:

Нормальное ускорение \(a_{\text{н}}\) можно определить как:

\[
a_{\text{н}} = \omega^2 \cdot r
\]

где \(\omega\) - угловая скорость, \(r\) - радиус (расстояние до оси вращения).

Тангенциальное ускорение \(a_{\tau}\) можно определить как производную скорости по времени:

\[
a_{\tau} = \frac{{dv}}{{dt}}
\]

Общее ускорение \(a\) в данном случае будет равно векторной сумме нормального и тангенциального ускорений:

\[
a = \sqrt{{a_{\text{н}}}^2 + {a_{\tau}}^2}
\]

Теперь, когда мы знаем все необходимые формулы, можем перейти к решению задачи.

1) Для определения средней угловой скорости в течение первых четырех секунд движения, подставим значения \(t = 4\) и \(t = 0\) в формулу для \(\varphi\):

\[
\varphi(4) = 10 + 20 \cdot 4 - 2 \cdot 4^2
\]

\[
\varphi(0) = 10 + 20 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2
\]

Вычислим их разность:

\[
\Delta \varphi = \varphi(4) - \varphi(0)
\]

Подставим значения в формулу:

\[
\Delta \varphi = (10 + 20 \cdot 4 - 2 \cdot 4^2) - (10 + 20 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2)
\]

После простых арифметических вычислений получаем:

\[
\Delta \varphi = 80 - 10 = 70
\]

Теперь найдем среднюю угловую скорость \(\omega_{\text{ср}}\), подставив найденное значение \(\Delta \varphi\) и время \(\Delta t = 4\) в формулу для средней угловой скорости:

\[
\omega_{\text{ср}} = \frac{{\Delta \varphi}}{{\Delta t}} = \frac{{70}}{{4}} = 17,5 \, \text{рад/сек}
\]

Таким образом, значение средней угловой скорости в течение первых четырех секунд движения равно \(17,5 \, \text{рад/сек}\).

2) Для определения значений нормального, тангенциального и полного ускорений в момент времени \(t_1 = 4\) секунды, подставим данные в соответствующие формулы:

Нормальное ускорение \(a_{\text{н}}\):

\[
a_{\text{н}} = \omega^2 \cdot r = (12)^2 \cdot 0,1 = 144 \cdot 0,1 = 14,4 \, \text{м/c}^2
\]

Тангенциальное ускорение \(a_{\tau}\):

\[
a_{\tau} = \frac{{dv}}{{dt}} = -0,4 \, \text{м/с}^2 \, \text{(дано)}
\]

Общее ускорение \(a\):

\[
a = \sqrt{{a_{\text{н}}}^2 + {a_{\tau}}^2} = \sqrt{{14,4}^2 + {(-0,4)}^2} = \sqrt{206,56 + 0,16} = \sqrt{206,72} \approx 14,37 \, \text{м/c}^2
\]

Таким образом, значения нормального ускорения, тангенциального ускорения и общего ускорения в момент времени \(t_1 = 4\) секунды равны соответственно \(14,4 \, \text{м/c}^2\), \(-0,4 \, \text{м/с}^2\) и \(14,37 \, \text{м/c}^2\).