1. Каковы углы в правильном сорокаугольнике? 2. Какова длина окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной

Svetlana

24

1. В правильном сорокаугольнике все углы равны. По формуле для нахождения суммы внутренних углов в многоугольнике, сумма всех углов равна \((n - 2) \times 180^\circ\), где \(n\) - количество углов (в данном случае 40). Подставим значения и найдем сумму углов в сорокаугольнике:
\((40 - 2) \times 180^\circ = 38 \times 180^\circ = 6840^\circ\)

Чтобы найти один угол в правильном сорокаугольнике, нужно разделить сумму всех углов на количество углов:
\(\frac{6840^\circ}{40} = 171^\circ\)

Таким образом, углы в правильном сорокаугольнике равны 171 градус.

2. Для нахождения длины окружности, вписанной в правильный треугольник, нужно узнать радиус этой окружности. Радиус вписанной окружности в правильном треугольнике составляет \(\frac{1}{3}\) стороны треугольника. Обозначим сторону треугольника как \(a\), тогда радиус окружности будет:

\(r = \frac{1}{3}a = \frac{1}{3} \times 12 \, \text{см} = 4 \, \text{см}\)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения длины окружности: \(C = 2\pi r\), где \(C\) - длина окружности, \(r\) - радиус. Подставим значения и найдем длину окружности:

\(C = 2\pi \times 4 \, \text{см} = 8\pi \, \text{см}\)

Таким образом, длина окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см, равна \(8\pi\) см.

3. Если в окружность вписан квадрат со стороной 8 см, то радиус этой окружности будет равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти с помощью теоремы Пифагора, где сторона квадрата является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, а диагональ - это его катет:

\(d = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\)
\(r = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)

Для нахождения длины стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг этой окружности, можно воспользоваться следующей формулой: \(s = 2r\), где \(s\) - сторона шестиугольника, \(r\) - радиус описанной окружности. Подставим значения и найдем длину стороны шестиугольника:

\(s = 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)

Таким образом, длина стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан квадрат со стороной 8 см, равна \(8\sqrt{2}\) см.

4. Если радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника равна 4 см, то:

1) Радиус окружности, вписанной в многоугольник, равен половине стороны многоугольника. Таким образом, радиус вписанной окружности также равен 2 см.

2) Количество сторон многоугольника можно найти с помощью формулы: \(n = \frac{360^\circ}{a}\), где \(n\) - число сторон многоугольника, \(a\) - величина одной стороны. Подставим значения и найдем количество сторон многоугольника:

\(n = \frac{360^\circ}{4 \, \text{см}} = 90\)

Таким образом, в данном случае у нас правильный четырехугольник (квадрат) с радиусом окружности, вписанной в него, равным 2 см, и 4 сторонами.

5. Если сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны.