1) Какой будет объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 6 и двугранным углом при основании, равным

Ariana

41

Хорошо, рассмотрим поочередно каждую задачу.

1) Для начала, давайте разберемся, что такое двугранный угол. Двугранный угол - это угол между двумя плоскостями. В данной задаче двугранный угол при основании пирамиды равен 45 градусам.

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, нам нужно знать формулу для вычисления объема пирамиды. Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Так как в нашей задаче пирамида правильная четырехугольная, основание пирамиды будет прямоугольником. Для прямоугольника площадь можно вычислить умножением двух сторон.

В данной задаче нам дана высота \(h = 6\) и двугранный угол при основании равен 45 градусам. Так как это правильная четырехугольная пирамида, угол между боковой гранью и основанием также будет 45 градусов.

Чтобы найти основание пирамиды, нам нужно знать формулу для нахождения площади прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

\[S_{\text{осн}} = a \cdot b\]

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

В нашем случае, чтобы найти стороны прямоугольника, нам понадобится использовать тригонометрические соотношения. Для прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\), где угол между \(a\) и \(h\) равен 45 градусам, мы можем использовать следующие соотношения:

\[\sin(45^\circ) = \frac{a}{h}\]
\[\cos(45^\circ) = \frac{b}{h}\]

Находим значения синуса и косинуса 45 градусов:

\[\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Подставляем значения синуса и косинуса в соотношения и находим стороны прямоугольника:

\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{6}\]
\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{6}\]

Решаем уравнения:

\[a = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[b = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

После подстановки значений \(a\) и \(b\) в формулу площади основания пирамиды, мы получаем:

\[S_{\text{осн}} = \left(6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Упрощаем выражение:

\[S_{\text{осн}} = 6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[S_{\text{осн}} = 36 \cdot \frac{1}{2}\]
\[S_{\text{осн}} = 18\]

Подставляем найденное значение площади основания и высоту в формулу объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6\]
\[V = 36\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 6 и двугранным углом при основании, равным 45 градусам, составляет 36 кубических единиц.

2) Перейдем теперь ко второй задаче. У нас также есть правильная четырехугольная пирамида с высотой \(h = 9\) и двугранным углом при основании, равным 45 градусам.

Мы уже вычислили площадь основания ранее, поэтому нам осталось только подставить новые значения в формулу объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 9\]
\[V = 54\]

Объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 9 и двугранным углом при основании, равным 45 градусам, равен 54 кубическим единицам.