1) Какой из векторов из списка эквивалентен вектору c(3; 1; 2)? а) b(2; 3; 1) б) a(3; 1; 2) в) x(1; 2; 3) г) n(1

Евгений

68

1) Для определения эквивалентного вектора c(3; 1; 2) из списка векторов нужно сравнить каждую компоненту вектора с соответствующей компонентой каждого варианта.

a) Вектор a(3; 1; 2) имеет такие же компоненты, как у вектора c(3; 1; 2), поэтому вектор a эквивалентен вектору c.

б) Вектор b(2; 3; 1) имеет другие значения компонент, чем у вектора c(3; 1; 2), поэтому он не эквивалентен вектору c.

в) Вектор x(1; 2; 3) также имеет другие значения компонент, чем у вектора c(3; 1; 2), поэтому он не эквивалентен вектору c.

г) Вектор n(1; 3; 2) имеет другие значения компонент, чем у вектора c(3; 1; 2), поэтому он не эквивалентен вектору c.

Таким образом, только вектор а(3; 1; 2) эквивалентен вектору c(3; 1; 2).

2) Для определения значений n, при которых векторы a(2; 1; n) и b(-3; m; n) перпендикулярны, необходимо учесть, что перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение.

а) Векторы a и b будут перпендикулярными при любых значениях n и m, кроме тех случаев, когда скалярное произведение равно нулю.

б) При n = -1 векторы a(2; 1; -1) и b(-3; m; -1) также будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение будет равно 0.

в) При n = 1 векторы a(2; 1; 1) и b(-3; m; 1) также будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение будет равно 0.

г) При n = ±1 возможны два варианта: векторы a(2; 1; 1) и b(-3; m; 1) или a(2; 1; -1) и b(-3; m; -1). В обоих случаях векторы будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение будет равно 0.

3) Длина вектора m, который равен разности векторов a и 2b, можно найти по формуле: \(\|m\| = \sqrt{{m_1}^2 + {m_2}^2 + {m_3}^2}\)

Дано, что \(|a| = 2\) и \(|b| = 1\), а угол между векторами a и b равен 60°.

Длина вектора a равна 2, поэтому \(|a| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} = 2\).
Из уравнения можно выразить одну из компонент a: \({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 = 4\).

Длина вектора b равна 1, поэтому \(|b| = \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2} = 1\).
Из уравнения можно выразить одну из компонент b: \({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 = 1\).

Так как угол между векторами a и b составляет 60°, имеем следующее:
\(\cos(60°) = \frac{{a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3}}{{|a| \cdot |b|}}\)

Так как мы знаем, что \(|a| = 2\) и \(|b| = 1\), а угол между ними равен 60°, можем решить уравнение:
\(\cos(60°) = \frac{{a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3}}{{2 \cdot 1}}\)

Подставив значения угла и длин векторов, получим:
\(\frac{1}{2} = \frac{{a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3}}{2}\)
\(a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 = 1\)

Теперь найдём значение \(m_1 = a_1 - 2b_1\), \(m_2 = a_2 - 2b_2\) и \(m_3 = a_3 - 2b_3\):
\(m_1 = 2 - 2 \cdot (-3) = 8\)
\(m_2 = 1 - 2 \cdot m = 1 - 2m\)
\(m_3 = n - 2n = -n\)

Теперь найдём длину вектора m:
\(\|m\| = \sqrt{{m_1}^2 + {m_2}^2 + {m_3}^2} = \sqrt{8^2 + (1 - 2m)^2 + (-n)^2}\)

Таким образом, длина вектора m равна \(\sqrt{64 + (1 - 2m)^2 + n^2}\).

4) Для нахождения косинуса угла а треугольника avc, используем формулу косинуса угла между двумя векторами: \(\cos(\alpha) = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{c}}}{{|\vec{a}| \cdot |\vec{c}|}}\)

Для этого нужно вычислить скалярное произведение векторов a и c, а также их длины.

Вектор ab можно найти как разность векторов b и a:
\(\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a}\)

Так как даны координаты вершин треугольника, можем найти векторы ab и ac:
\(\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a} = (1; -1; 0) - (0; 1; -1) = (1; -2; 1)\)
\(\vec{ac} = \vec{c} - \vec{a} = (0; 1; 1) - (0; 1; -1) = (0; 0; 2)\)

Для расчёта косинуса угла а между векторами ab и ac, найдём скалярное произведение \(\vec{ab} \cdot \vec{ac}\):
\(\vec{ab} \cdot \vec{ac} = (1; -2; 1) \cdot (0; 0; 2) = 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 2\)

Теперь найдём длины векторов ab и ac:
\(|\vec{ab}| = \sqrt{{1^2} + {(-2)^2} + {1^2}} = \sqrt{6}\)
\(|\vec{ac}| = \sqrt{{0^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt{4} = 2\)

Используя формулу косинуса угла между векторами, получаем:
\(\cos(a) = \frac{{\vec{ab} \cdot \vec{ac}}}{{|\vec{ab}| \cdot |\vec{ac}|}} = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot 2} = \frac{1}{\sqrt{6}}\)

Таким образом, косинус угла а треугольника avc равен \(\frac{1}{\sqrt{6}}\).

5) Для того чтобы векторы а(-1; 4; -2) и b(-3; m; n) были коллинеарными, они должны быть параллельными и иметь одинаковое направление или направлены в противоположные стороны.

Для коллинеарности векторов а и b должно выполняться следующее условие:
\(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}\)

Подставим значения вектора а и b:
\(\frac{-1}{-3} = \frac{4}{m} = \frac{-2}{n}\)

Решим первое уравнение:
\(\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(\frac{4}{m} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = 12\)

И последнее уравнение:
\(\frac{-2}{n} = \frac{1}{3} \Rightarrow n = -6\)

Таким образом, векторы a и b будут коллинеарными при значениях \(m = 12\) и \(n = -6\).