1. Какой объем имеет правильная треугольная пирамида, если ее апофема равна а = 2 см, а плоский угол при вершине равен

Snezhok

47

1. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h,\]
где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Нам даны значения апофемы \(а\) и плоского угла \(\alpha\). Найдем площадь основания пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде, основанием является правильный треугольник. Для правильного треугольника, площадь можно найти по формуле:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2,\]
где \(a\) - длина стороны треугольника.

В нашем случае, у нас правильный треугольник с апофемой \(а = 2\) см и плоским углом \(\alpha = 60\) градусов. Длина стороны треугольника равна \(a = 2\) см.

Подставив значения в формулу, мы получим:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2 \, \text{см})^2 = 3 \, \text{см}^2.\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания пирамиды, мы можем найти объем, подставив значения в формулу:
\[V = \frac{1}{3} \cdot (3 \, \text{см}^2) \cdot h.\]

Мы не знаем высоту пирамиды, но нам дано значение плоского угла \(\alpha\). Используя геометрические свойства, мы можем найти высоту пирамиды, используя формулу:
\[h = a \cdot \tan{\alpha},\]
где \(h\) - высота пирамиды, \(a\) - апофема, \(\alpha\) - плоский угол при вершине.

Подставим значения и решим уравнение:
\[h = 2 \, \text{см} \cdot \tan{60^\circ} \approx 3.464 \, \text{см}.\]

Теперь у нас есть значение площади основания \(S = 3 \, \text{см}^2\) и высоты \(h = 3.464 \, \text{см}\). Подставим их в формулу объема и решим:
\[V = \frac{1}{3} \cdot (3 \, \text{см}^2) \cdot (3.464 \, \text{см}) \approx 3.464 \, \text{см}^3.\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды составляет около \(3.464 \, \text{см}^3\).

2. Аналогично, чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h.\]

Мы знаем высоту пирамиды \(h = 3\) дм и плоский угол при вершине \(\alpha = 60\) градусов.

Чтобы найти площадь основания пирамиды, мы должны знать форму основания. В данном случае, нам сказано, что основание - правильный четырехугольник. Формула для площади правильного четырехугольника:
\[S = a^2,\]
где \(S\) - площадь основания пирамиды, \(a\) - длина стороны четырехугольника.

Мы не знаем длину стороны четырехугольника, но мы можем найти ее, используя теорему косинусов. Теорема косинусов утверждает, что для треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и углом \(\gamma\) противоположным стороне \(c\), косинус угла \(\gamma\) может быть найден по формуле:
\[\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.\]

В нашем случае, нас интересует косинус плоского угла при вершине. Зная этот угол \(\alpha\), мы можем найти косинус:
\[ \cos{\alpha} = \cos{60^\circ} = \frac{a^2 + a^2 - a^2}{2 \cdot a \cdot a} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}.\]

Решим уравнение на \(a\):
\[\frac{1}{2} = \frac{1}{2a} \quad \Rightarrow \quad 2a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}.\]

Теперь, когда у нас есть длина стороны четырехугольника \(a = \frac{1}{2}\), мы можем найти площадь основания \(S = a^2\):
\[S = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \, \text{дм}^2.\]

Заметим, что заданная высота пирамиды указана в дециметрах, поэтому мы можем использовать ее напрямую в формуле объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \, \text{дм}^2\right) \cdot 3 \, \text{дм} = \frac{1}{4} \, \text{дм}^3.\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет \(\frac{1}{4} \, \text{дм}^3\).