Какова площадь правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник

Magicheskiy_Troll

20

Для решения данной задачи, нам потребуется знать формулу для площади правильного шестиугольника, а также формулу для площади прямоугольного треугольника.

Формула для площади правильного шестиугольника:
\[S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2\]
где \(S\) - площадь шестиугольника, \(a\) - длина стороны.

Формула для площади прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{1}{2} ab\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Так как прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза совпадает с диаметром окружности. По свойствам окружности, мы знаем, что диаметр равен удвоенному радиусу. Пусть радиус окружности равен \(r\), тогда длина гипотенузы прямоугольного треугольника будет равна \(2r\).

Таким образом, нам нужно найти площадь шестиугольника, стороны которого равны длине гипотенузы прямоугольного треугольника. Подставив \(a = 2r\) в формулу для площади правильного шестиугольника, получим:

\[S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (2r)^2\]

Упростим данное выражение:

\[S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} 4r^2\]

Раскроем скобки и получим:

\[S = 6 \sqrt{3} r^2\]

Таким образом, площадь правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник с длиной гипотенузы \(2r\), равна \(6 \sqrt{3} r^2\).