№1 Какой потенциал в точках, которые находятся на удалении 4 см и 8 см от центра металлической сферы радиусом 5

Золотой_Король

26

1. Чтобы найти потенциал в точках, которые находятся на удалении 4 см и 8 см от центра металлической сферы радиусом 5 см с зарядом 20 мкКл, мы можем использовать формулу для потенциала точечного заряда.

Для начала, давайте найдем потенциал в точке, находящейся на расстоянии 4 см от центра сферы. Формула для потенциала точечного заряда выглядит следующим образом:

\[V = \frac{k \cdot q}{r}\]

где:
\(V\) - потенциал,
\(k\) - постоянная Кулона (\(9 \cdot 10^9\) Н·м²/Кл²),
\(q\) - заряд (\(20 \cdot 10^{-6}\) Кл),
\(r\) - расстояние от центра заряда до точки (в метрах).

Подставив значения в формулу, получим:

\[V = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 20 \cdot 10^{-6}}{0.04}\]

\[V = \frac{9 \cdot 20 \cdot 10^{3}}{4}\]

\[V = \frac{180 \cdot 10^{3}}{4}\]

\[V = 45 \cdot 10^{3}\]

\[V = 45 \text{ кВ}\]

Теперь найдем потенциал в точке, находящейся на расстоянии 8 см от центра сферы:

\[V = \frac{9 \cdot 20 \cdot 10^{3}}{8}\]

\[V = 22.5 \cdot 10^{3}\]

\[V = 22.5 \text{ кВ}\]

Таким образом, потенциал в точках, находящихся на удалении 4 см и 8 см от центра металлической сферы радиусом 5 см с зарядом 20 мкКл, составляет соответственно 45 кВ и 22.5 кВ.

2. Чтобы найти скорость электрона, пролетевшего расстояние между точками электрического поля с разностью потенциалов 3000 В, если его начальная скорость равна нулю, можно использовать формулу для работы, выполненной электрическим полем:

\[W = q \cdot \Delta V\]

где:
\(W\) - работа, выполненная электрическим полем,
\(q\) - заряд электрона (\(1.6 \cdot 10^{-19}\) Кл),
\(\Delta V\) - разность потенциалов.

В данном случае, мы хотим найти скорость, поэтому используем формулу:

\[W = \frac{1}{2} m v^2\]

где:
\(m\) - масса электрона (\(9.1 \cdot 10^{-31}\) кг),
\(v\) - скорость электрона.

Подставив значения в формулы, получим:

\[\frac{1}{2} m v^2 = q \cdot \Delta V\]

\[\frac{1}{2} \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \cdot v^2 = 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 3000\]

Упростим выражение и решим его относительно \(v\):

\[v^2 = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 3000}{9.1 \cdot 10^{-31}}\]

\[v^2 = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 3000}{9.1 \cdot 10^{-31}}\]

\[v^2 = \frac{4.8 \cdot 10^{-16}}{9.1 \cdot 10^{-31}}\]

\[v^2 = 5.27 \cdot 10^{14} \text{ м}^2/\text{с}^2\]

\[v = \sqrt{5.27 \cdot 10^{14}}\]

\[v \approx 2.3 \cdot 10^7 \text{ м/с}\]

Таким образом, скорость электрона, пролетевшего расстояние между точками электрического поля с разностью потенциалов 3000 В, будет составлять примерно \(2.3 \cdot 10^7\) м/с.

3. Чтобы найти радиус капельки масла, находящейся в вертикальном электростатическом поле, созданном двумя разноимёнными горизонтально расположенными пластинами, если капелька имеет заряд, равный элементарному, и между пластинами имеется напряжение 500 В при расстоянии между ними, мы можем использовать закон Кулона и закон равновесия сил.

Закон Кулона гласит:

\[F = \frac{k \cdot |q_1| \cdot |q_2|}{r^2}\]

где:
\(F\) - сила между двумя зарядами (\(q_1\) и \(q_2\)),
\(k\) - постоянная Кулона,
\(q_1\) и \(q_2\) - заряды,
\(r\) - расстояние между зарядами.

Мы знаем, что заряд капельки масла равен элементарному заряду (\(1.6 \cdot 10^{-19}\) Кл), поэтому можем записать:

\[F = \frac{k \cdot |q_1| \cdot |e|}{r^2}\]

где \(e\) - элементарный заряд.

Вертикальное электростатическое поле создает силу тяжести, направленную вниз. В то же время, возникает сила электрического поля, которая направлена вверх и уравновешивает силу тяжести. Поэтому на капельку действуют две равных по величине силы.

Мы можем записать уравнение для равновесия сил:

\[F_{\text{тяж}} = F_{\text{эл}}\]

\[m \cdot g = \frac{k \cdot |q_1| \cdot |e|}{r^2}\]

Так как капелька масла находится в равновесии, то сила тяжести равна электрической силе. Давайте выразим радиус \(r\) из уравнения:

\[r = \sqrt{\frac{k \cdot |q_1| \cdot |e|}{m \cdot g}}\]

Подставим значения:

\[r = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot |1.6 \cdot 10^{-19}| \cdot |1.6 \cdot 10^{-19}|}{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 9.8}}\]

Упростим выражение:

\[r = \sqrt{\frac{9 \cdot 1.6^2 \cdot 10^{-19^2} \cdot 10^{12}}{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 9.8}}\]

\[r = \sqrt{\frac{9 \cdot 1.6^2 \cdot 10^{25}}{9.1 \cdot 9.8}}\]

Рассчитаем радиус:

\[r \approx \sqrt{\frac{230.4 \cdot 10^{25}}{89.28}}\]

\[r \approx \sqrt{2.584 \cdot 10^{26}}\]

\[r \approx 1.6 \cdot 10^{-13} \text{ м}\]

Таким образом, радиус капельки масла, находящейся в вертикальном электростатическом поле, созданном двумя разноимёнными горизонтально расположенными пластинами, при межпластинном напряжении 500 В и заряде капельки равном элементарному, равен примерно \(1.6 \cdot 10^{-13}\) метра.