1. Какой угловой коэффициент у прямой l: 12x+3y-1=0? Какой отрезок она отсекает на оси ординат? 2. Как найти

  • 5
1. Какой угловой коэффициент у прямой l: 12x+3y-1=0? Какой отрезок она отсекает на оси ординат?
2. Как найти симметричную точку точке а (-1; 4) относительно прямой l: -x+2y+4=0?
3. Как определить взаимное расположение прямой и параболы 8x+3y-15=0 и x^2=-3y?
4. Как составить каноническое уравнение эллипса, который проходит через точку м (2; 3) и имеет большую полуось a=4?
5. Для гиперболы x^2-4y^2=16, как найти: 1) действительную и мнимую полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет.
Звездопад_Волшебник
43
1. Угловой коэффициент прямой l можно найти из уравнения прямой, а именно из уравнения вида Ax+By+C=0, где A и B - коэффициенты при x и y соответственно. В данном случае у нас уравнение 12x+3y1=0, поэтому угловой коэффициент будет равен отношению коэффициента A коэффициенту B:

k=AB=123=4

Отрезок, который прямая l отсекает на оси ординат, можно найти, положив x=0 в уравнении прямой и решив его относительно y:

120+3y1=0y=13

Таким образом, прямая l отсекает отрезок длиной 13 на оси ординат.

2. Чтобы найти симметричную точку точке A(1,4) относительно прямой l:x+2y+4=0, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между точкой и прямой. Расстояние между точкой (x0,y0) и прямой Ax+By+C=0 можно вычислить по формуле:

d=|Ax0+By0+C|A2+B2

В данном случае, точка A(1,4), а уравнение прямой l:x+2y+4=0. Подставляя значения в формулу, получаем:

d=|(1)+24+4|(1)2+22=|1+8+4|1+4=|13|5

Таким образом, мы нашли расстояние между точкой A и прямой l. Чтобы найти симметричную точку, нужно провести перпендикуляр к прямой l через точку A(1,4) и найти точку пересечения этого перпендикуляра с прямой. Так как симметричная точка должна быть на том же расстоянии от прямой, что и исходная точка A, то расстояние между симметричной точкой и прямой тоже будет равно |13|5.

3. Чтобы определить взаимное расположение прямой и параболы, нам нужно рассмотреть их уравнения. Дано уравнение прямой l:8x+3y15=0 и уравнение параболы x2=3y.

Запишем уравнение параболы в форме y=x23.

Уравнение прямой можно запишем в форме y=83x+5.

Теперь нам нужно проанализировать уравнения и понять, как связаны коэффициенты и какие условия выполняются.

Обратим внимание, что коэффициент при x в уравнении параболы является отрицательным, что указывает на то, что график параболы открывается вниз. Наш график параболы будет симметричен относительно оси ординат, так как нет слагаемого с y в уравнении.

Коэффициент при x в уравнении прямой является отрицательным, что указывает на то, что прямая имеет нисходящий наклон.

Прямая l и парабола p пересекаются в точке, удовлетворяющей обоим уравнениям. Чтобы найти точку пересечения, приравняем два уравнения и решим полученное уравнение:

x23=83x+5

Упростив уравнение и приведя его к квадратному виду, получим:

x28x15=0

Решая это квадратное уравнение, найдем значения x и затем найдем соответствующие значения y подставив найденные значения x в любое из уравнений.

4. Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, который проходит через точку M(2,3) и имеет большую полуось a=4, мы можем использовать формулу канонического уравнения эллипса:

(xh)2a2+(yk)2b2=1

где (h,k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси.

Используя условия задачи, подставим значения: h=2, k=3 и a=4. Тогда уравнение эллипса будет иметь вид:

(x2)242+(y3)2b2=1

Чтобы определить значение полуоси b, нам нужно знать ещё одну точку, через которую проходит эллипс. В данной задаче такая точка не задана, поэтому мы не можем однозначно определить значение b. Мы можем подобрать значение b и использовать полученное уравнение как общую форму канонического уравнения эллипса, проходящего через точку M(2,3).

5. Перейдем к гиперболе x24y2=16 и поочередно найдем нужную информацию:

1) Для гиперболы вида x2a2y2b2=1 действительная полуось равна a и мнимая полуось равна b. В данном случае коэффициент перед x2 равен 1, поэтому a=16=4, а коэффициент перед y2 равен -4, поэтому b=164=4=2i.

2) Чтобы найти координаты фокусов гиперболы, воспользуемся формулой c=a2+b2, где c - расстояние от центра гиперболы до фокусов. В данном случае c=42+(2i)2=164=12=23. Так как гипербола симметрична относительно оси ординат, то координаты фокусов будут (0,±23).

3) Чтобы найти эксцентриситет гиперболы, воспользуемся формулой e=ca. В данном случае e=234=32.