1. Какой угловой коэффициент у прямой l: 12x+3y-1=0? Какой отрезок она отсекает на оси ординат? 2. Как найти

Звездопад_Волшебник

43

1. Угловой коэффициент прямой \(l\) можно найти из уравнения прямой, а именно из уравнения вида \(Ax + By + C = 0\), где \(A\) и \(B\) - коэффициенты при \(x\) и \(y\) соответственно. В данном случае у нас уравнение \(12x + 3y - 1 = 0\), поэтому угловой коэффициент будет равен отношению коэффициента \(A\) коэффициенту \(B\):

\[k = -\frac{A}{B} = -\frac{12}{3} = -4\]

Отрезок, который прямая \(l\) отсекает на оси ординат, можно найти, положив \(x = 0\) в уравнении прямой и решив его относительно \(y\):

\[12 \cdot 0 + 3y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\]

Таким образом, прямая \(l\) отсекает отрезок длиной \(\frac{1}{3}\) на оси ординат.

2. Чтобы найти симметричную точку точке \(A(-1, 4)\) относительно прямой \(l: -x + 2y + 4 = 0\), мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между точкой и прямой. Расстояние между точкой \((x_0, y_0)\) и прямой \(Ax + By + C = 0\) можно вычислить по формуле:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

В данном случае, точка \(A(-1, 4)\), а уравнение прямой \(l: -x + 2y + 4 = 0\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[d = \frac{|(-1) + 2 \cdot 4 + 4|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 8 + 4|}{\sqrt{1+4}} = \frac{|13|}{\sqrt{5}}\]

Таким образом, мы нашли расстояние между точкой \(A\) и прямой \(l\). Чтобы найти симметричную точку, нужно провести перпендикуляр к прямой \(l\) через точку \(A(-1, 4)\) и найти точку пересечения этого перпендикуляра с прямой. Так как симметричная точка должна быть на том же расстоянии от прямой, что и исходная точка \(A\), то расстояние между симметричной точкой и прямой тоже будет равно \(\frac{|13|}{\sqrt{5}}\).

3. Чтобы определить взаимное расположение прямой и параболы, нам нужно рассмотреть их уравнения. Дано уравнение прямой \(l: 8x + 3y - 15 = 0\) и уравнение параболы \(x^2 = -3y\).

Запишем уравнение параболы в форме \(y = \frac{-x^2}{3}\).

Уравнение прямой можно запишем в форме \(y = -\frac{8}{3}x + 5\).

Теперь нам нужно проанализировать уравнения и понять, как связаны коэффициенты и какие условия выполняются.

Обратим внимание, что коэффициент при \(x\) в уравнении параболы является отрицательным, что указывает на то, что график параболы открывается вниз. Наш график параболы будет симметричен относительно оси ординат, так как нет слагаемого с \(y\) в уравнении.

Коэффициент при \(x\) в уравнении прямой является отрицательным, что указывает на то, что прямая имеет нисходящий наклон.

Прямая \(l\) и парабола \(p\) пересекаются в точке, удовлетворяющей обоим уравнениям. Чтобы найти точку пересечения, приравняем два уравнения и решим полученное уравнение:

\[\frac{-x^2}{3} = -\frac{8}{3}x + 5\]

Упростив уравнение и приведя его к квадратному виду, получим:

\[x^2 - 8x - 15 = 0\]

Решая это квадратное уравнение, найдем значения \(x\) и затем найдем соответствующие значения \(y\) подставив найденные значения \(x\) в любое из уравнений.

4. Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, который проходит через точку \(M(2,3)\) и имеет большую полуось \(a=4\), мы можем использовать формулу канонического уравнения эллипса:

\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\]

где \((h,k)\) - координаты центра эллипса, а \(a\) и \(b\) - полуоси.

Используя условия задачи, подставим значения: \(h=2\), \(k=3\) и \(a=4\). Тогда уравнение эллипса будет иметь вид:

\[\frac{(x-2)^2}{4^2}+\frac{(y-3)^2}{b^2}=1\]

Чтобы определить значение полуоси \(b\), нам нужно знать ещё одну точку, через которую проходит эллипс. В данной задаче такая точка не задана, поэтому мы не можем однозначно определить значение \(b\). Мы можем подобрать значение \(b\) и использовать полученное уравнение как общую форму канонического уравнения эллипса, проходящего через точку \(M(2,3)\).

5. Перейдем к гиперболе \(x^2 - 4y^2 = 16\) и поочередно найдем нужную информацию:

1) Для гиперболы вида \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) действительная полуось равна \(a\) и мнимая полуось равна \(b\). В данном случае коэффициент перед \(x^2\) равен 1, поэтому \(a = \sqrt{16} = 4\), а коэффициент перед \(y^2\) равен -4, поэтому \(b = \sqrt{-\frac{16}{4}} = \sqrt{-4} = 2i\).

2) Чтобы найти координаты фокусов гиперболы, воспользуемся формулой \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(c\) - расстояние от центра гиперболы до фокусов. В данном случае \(c = \sqrt{4^2 + (2i)^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Так как гипербола симметрична относительно оси ординат, то координаты фокусов будут \((0, \pm 2\sqrt{3})\).

3) Чтобы найти эксцентриситет гиперболы, воспользуемся формулой \(e = \frac{c}{a}\). В данном случае \(e = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).