1. Какой угловой коэффициент у прямой l: 12x+3y-1=0? Какой отрезок она отсекает на оси ординат? 2. Как найти

Звездопад_Волшебник

43

1. Угловой коэффициент прямой $l$ можно найти из уравнения прямой, а именно из уравнения вида $Ax+By+C=0$, где $A$ и $B$ - коэффициенты при $x$ и $y$ соответственно. В данном случае у нас уравнение $12x+3y-1=0$, поэтому угловой коэффициент будет равен отношению коэффициента $A$ коэффициенту $B$:

$$k=-\frac{A}{B}=-\frac{12}{3}=-4$$

Отрезок, который прямая $l$ отсекает на оси ординат, можно найти, положив $x=0$ в уравнении прямой и решив его относительно $y$:

$$12\cdot 0+3y-1=0\Rightarrow y=\frac{1}{3}$$

Таким образом, прямая $l$ отсекает отрезок длиной $\frac{1}{3}$ на оси ординат.

2. Чтобы найти симметричную точку точке $A(-1,4)$ относительно прямой $l:-x+2y+4=0$, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между точкой и прямой. Расстояние между точкой $(x_0,y_0)$ и прямой $Ax+By+C=0$ можно вычислить по формуле:

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

В данном случае, точка $A(-1,4)$, а уравнение прямой $l:-x+2y+4=0$. Подставляя значения в формулу, получаем:

$$d=\frac{|(-1)+2\cdot 4+4|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|1+8+4|}{\sqrt{1+4}}=\frac{|13|}{\sqrt{5}}$$

Таким образом, мы нашли расстояние между точкой $A$ и прямой $l$. Чтобы найти симметричную точку, нужно провести перпендикуляр к прямой $l$ через точку $A(-1,4)$ и найти точку пересечения этого перпендикуляра с прямой. Так как симметричная точка должна быть на том же расстоянии от прямой, что и исходная точка $A$, то расстояние между симметричной точкой и прямой тоже будет равно $\frac{|13|}{\sqrt{5}}$.

3. Чтобы определить взаимное расположение прямой и параболы, нам нужно рассмотреть их уравнения. Дано уравнение прямой $l:8x+3y-15=0$ и уравнение параболы $x^2=-3y$.

Запишем уравнение параболы в форме $y=\frac{-x^2}{3}$.

Уравнение прямой можно запишем в форме $y=-\frac{8}{3}x+5$.

Теперь нам нужно проанализировать уравнения и понять, как связаны коэффициенты и какие условия выполняются.

Обратим внимание, что коэффициент при $x$ в уравнении параболы является отрицательным, что указывает на то, что график параболы открывается вниз. Наш график параболы будет симметричен относительно оси ординат, так как нет слагаемого с $y$ в уравнении.

Коэффициент при $x$ в уравнении прямой является отрицательным, что указывает на то, что прямая имеет нисходящий наклон.

Прямая $l$ и парабола $p$ пересекаются в точке, удовлетворяющей обоим уравнениям. Чтобы найти точку пересечения, приравняем два уравнения и решим полученное уравнение:

$$\frac{-x^2}{3}=-\frac{8}{3}x+5$$

Упростив уравнение и приведя его к квадратному виду, получим:

$$x^2-8x-15=0$$

Решая это квадратное уравнение, найдем значения $x$ и затем найдем соответствующие значения $y$ подставив найденные значения $x$ в любое из уравнений.

4. Чтобы составить каноническое уравнение эллипса, который проходит через точку $M(2,3)$ и имеет большую полуось $a=4$, мы можем использовать формулу канонического уравнения эллипса:

$$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$$

где $(h,k)$ - координаты центра эллипса, а $a$ и $b$ - полуоси.

Используя условия задачи, подставим значения: $h=2$, $k=3$ и $a=4$. Тогда уравнение эллипса будет иметь вид:

$$\frac{(x-2{)}^2}{4^2}+\frac{(y-3{)}^2}{b^2}=1$$

Чтобы определить значение полуоси $b$, нам нужно знать ещё одну точку, через которую проходит эллипс. В данной задаче такая точка не задана, поэтому мы не можем однозначно определить значение $b$. Мы можем подобрать значение $b$ и использовать полученное уравнение как общую форму канонического уравнения эллипса, проходящего через точку $M(2,3)$.

5. Перейдем к гиперболе $x^2-4y^2=16$ и поочередно найдем нужную информацию:

1) Для гиперболы вида $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ действительная полуось равна $a$ и мнимая полуось равна $b$. В данном случае коэффициент перед $x^2$ равен 1, поэтому $a=\sqrt{16}=4$, а коэффициент перед $y^2$ равен -4, поэтому $b=\sqrt{-\frac{16}{4}}=\sqrt{-4}=2i$.

2) Чтобы найти координаты фокусов гиперболы, воспользуемся формулой $c=\sqrt{a^2+b^2}$, где $c$ - расстояние от центра гиперболы до фокусов. В данном случае $c=\sqrt{4^2+(2i{)}^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Так как гипербола симметрична относительно оси ординат, то координаты фокусов будут $(0,\pm 2\sqrt{3})$.

3) Чтобы найти эксцентриситет гиперболы, воспользуемся формулой $e=\frac{c}{a}$. В данном случае $e=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.