1) Какую сумму и произведение корней имеют следующие уравнения: а) x²+4x-32=0, б) x²-12x=0, в) 9x²-18x-72=0? (решить

Стрекоза

53

Хорошо, давайте решим каждое из данных уравнений по очереди:

а) Уравнение x² + 4x - 32 = 0.
Для начала, нам нужно найти корни этого уравнения. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
где a, b и c - это коэффициенты уравнения.
В нашем случае уравнение имеет вид:
\[x^2 + 4x - 32 = 0\]
a = 1, b = 4 и c = -32.
Теперь подставим эти значения в формулу дискриминанта:
\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)\]
\[D = 16 + 128\]
\[D = 144\]
Так как дискриминант положительный (D > 0), у нас есть два различных корня.
Формула для нахождения корней уравнения выглядит следующим образом:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставим значения в эту формулу:
\[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1}\]
\[x_1 = \frac{-4 + 12}{2}\]
\[x_1 = \frac{8}{2}\]
\[x_1 = 4\]

\[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1}\]
\[x_2 = \frac{-4 - 12}{2}\]
\[x_2 = \frac{-16}{2}\]
\[x_2 = -8\]

Таким образом, сумма корней равна 4 + (-8) = -4, а их произведение равно 4 * (-8) = -32.

б) Уравнение x² - 12x = 0.
Проделаем с этим уравнением ту же последовательность операций:
a = 1, b = -12 и c = 0.
\[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0\]
\[D = 144 - 0\]
\[D = 144\]
У нас есть два корня:
\[x_1 = \frac{12}{2}\]
\[x_1 = 6\]

\[x_2 = \frac{-12}{2}\]
\[x_2 = -6\]

Сумма корней равна 6 + (-6) = 0, а их произведение равно 6 * (-6) = -36.

в) Уравнение 9x² - 18x - 72 = 0.
Опять же, найдем корни этого уравнения:
a = 9, b = -18 и c = -72.
\[D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-72)\]
\[D = 324 + 2592\]
\[D = 2916\]
Дискриминант положительный, поэтому мы получим два корня:
\[x_1 = \frac{18 + \sqrt{2916}}{2 \cdot 9}\]
\[x_1 = \frac{18 + 54}{18}\]
\[x_1 = \frac{72}{18}\]
\[x_1 = 4\]

\[x_2 = \frac{18 - \sqrt{2916}}{2 \cdot 9}\]
\[x_2 = \frac{18 - 54}{18}\]
\[x_2 = \frac{-36}{18}\]
\[x_2 = -2\]

Таким образом, сумма корней равна 4 + (-2) = 2, а их произведение равно 4 * (-2) = -8.

В итоге, для первой задачи, суммы и произведение корней уравнений:
а) Сумма: -4, Произведение: -32.
б) Сумма: 0, Произведение: -36.
в) Сумма: 2, Произведение: -8.

Приступим ко второй задаче.