На кубе abcda1b1c1d1 точки n и m отмечены на ребрах b1a1 и a1d1 соответственно таким образом, что b1n: na1=1: 3

Ледяная_Душа

38

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, давайте введем обозначения для удобства. Пусть сторона куба равна \(a\). Тогда длина отрезков \(b_1n\) и \(na_1\) будет равна \(\frac{a}{3}\), а длина отрезков \(a_1m\) и \(md_1\) будет равна \(\frac{a}{4}\).

2. Рассмотрим треугольник \(b_1na_1\). Мы знаем длины его сторон: \(b_1n = \frac{a}{3}\) и \(na_1 = \frac{a}{3}\). Мы также знаем, что угол \(\angle b_1na_1\) прямой, так как он образуется между соединяющими их сторонами куба.

3. Таким образом, мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника \(b_1na_1\), чтобы найти значение косинуса угла \(\alpha\). Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

\[\cos(\alpha) = \frac{{b_1n^2 + na_1^2 - b_1a_1^2}}{{2 \cdot b_1n \cdot na_1}}\]

Подставим значения из нашей задачи:

\[\cos(\alpha) = \frac{{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - a^2}}{{2 \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{a}{3}}}\]

4. Упростим выражение, раскрыв скобки и сократив подобные члены:

\[\cos(\alpha) = \frac{{\frac{1}{9}a^2 + \frac{1}{9}a^2 - a^2}}{{2 \cdot \frac{1}{9}a^2}}\]

\[\cos(\alpha) = \frac{{\frac{2}{9}a^2 - a^2}}{{2 \cdot \frac{1}{9}a^2}}\]

5. Продолжим упрощение:

\[\cos(\alpha) = \frac{{\frac{1}{9}a^2}}{{\frac{2}{9}a^2}}\]

6. Наконец, сократим дробь:

\[\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\]

7. Итак, мы нашли значение косинуса угла \(\alpha\). Ответ: \(\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\).

Это означает, что угол \(\alpha\) равен \(60\) градусам. Напомню, что угол \(\alpha\) определен между прямыми \(bn\) и \(am\), которые являются ребрами куба.