What is the value of the sine of 100 degrees multiplied by the cosine of 200 degrees, divided by the tangent

Barsik

45

Чтобы найти значение \( \sin(100°) \cdot \cos(200°) \) , разделенное на \( \tan(300°) \), весьма полезно воспользоваться тригонометрическими тождествами и арифметическими свойствами функций. Давайте разберемся с каждым шагом поочередно.

1. Сначала найдем значения \( \sin(100°) \) и \( \cos(200°) \).
2. Затем найдем значение \( \tan(300°) \).
3. В результате воспользуемся значениями из предыдущих шагов, чтобы найти окончательный ответ.

Шаг 1: Найдем \( \sin(100°) \) и \( \cos(200°) \).
Перед нами две тригонометрические функции, и мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы связать значения с более простыми углами.

* \( \sin(100°) \) можно переписать как \( \sin(180° - 80°) \). Используя тождество \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta \), получаем
\( \sin(100°) = \sin(80°) \).

* \( \cos(200°) \) можно переписать как \( \cos(180° + 20°) \). Тождество \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \) позволяет нам записать:
\( \cos(200°) = \cos(20°) \).

Теперь мы можем двигаться к следующему шагу.

Шаг 2: Найдем значение \( \tan(300°) \).
Аналогично предыдущему шагу, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить угол.

* \( \tan(300°) \) можно записать как \( \tan(360° - 60°) \). Используя тождество \( \tan(\alpha - \beta) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta}}{{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}} \), получаем:
\( \tan(300°) = \tan(60°) \).

Теперь у нас есть все необходимые значения для окончательного шага.

Шаг 3: Найдем значение \( \frac{{\sin(100°) \cdot \cos(200°)}}{{\tan(300°) \cdot \sin(1°)}} \).
Вставляем значения из предыдущих шагов:

\( \frac{{\sin(80°) \cdot \cos(20°)}}{{\tan(60°) \cdot \sin(1°)}} \).

Мы можем использовать таблицы значений для тригонометрических функций или калькулятор, чтобы найти приближенные значения каждой функции и вычислить окончательный ответ.

Обратите внимание, что использование тригонометрических тождеств и арифметических свойств функций позволяет упростить задачу и выразить ее через более простые углы. Такой подход помогает нам решать более сложные задачи и лучше понимать связи между тригонометрическими функциями.