1) На двух окружностях, имеющих общий центр и радиусы ra=2 см и rb=4 см соответственно, лежат точки a и b. Угол ∠aob

Lastochka

38

в точке на одной линии с фонарем. Через сколько секунд мотыльки снова окажутся в этой точке? Ответ округлите до целых секунд.

Задача 1:
Обозначим центр окружностей как O, точку a на первой окружности и точку b на второй окружности. Поскольку угол ∠aob равен 60∘, значит он является углом вписанной дуги. Так как радиус первой окружности равен 2 см, а радиус второй окружности равен 4 см, то длина дуги на первой окружности равна \(\frac{60}{360}\) от окружности, а на второй окружности - \(\frac{60}{360}\) от окружности.
Длина дуги на первой окружности равна \(2 \pi \cdot \frac{60}{360} = \frac{\pi}{3}\) см.
Длина дуги на второй окружности равна \(4 \pi \cdot \frac{60}{360} = \frac{2\pi}{3}\) см.
Так как точки a и b находятся на этих дугах, то расстояние |ab| будет равно разности длин этих дуг:
\(\left|\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right| = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}\) см.

Однако, так как расстояние не может быть отрицательным, модуль отрицательного значения даст нам положительное значение:
\(\left|\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right| = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\) см.

Ответ: расстояние |ab| равно \(\frac{\pi}{3}\) см, что округляется до 1,05 см.

Задача 2:
Пусть Rb - радиус орбиты большого мотылька, а Rs - радиус орбиты маленького мотылька.
Мы знаем, что Rb = 2Rs.
Также известно, что период движения большого мотылька tb равен 9 секунд, а период движения маленького мотылька ts равен 4 секунды.

Период движения связан с длиной окружности по формуле:
T = \(\frac{2\pi R}{v}\),
где T - период движения, R - радиус орбиты, v - скорость движения по окружности.

Мы можем предположить, что скорость движения большого мотылька vb равна скорости движения маленького мотылька vs.
Используя формулу для периода движения, мы можем записать:

\(\frac{2\pi Rb}{vb} = tb\) (1)
\(\frac{2\pi Rs}{vs} = ts\) (2)

Известно, что Rb = 2Rs.
Подставим это в уравнения (1) и (2):

\(\frac{2\pi \cdot 2Rs}{vb} = tb\)
\(\frac{4\pi Rs}{vb} = tb\)

\(\frac{2\pi Rs}{vs} = ts\)

Мы хотим найти момент времени, когда мотыльки снова окажутся на одной линии с фонарем.
Это произойдет, когда оба мотылька пролетят одинаковое расстояние. Расстояние, которое пролетит мотылек в течение времени T, связано со скоростью и временем по формуле:

\(d = v \cdot T\),

где d - расстояние, которое пролетит мотылек, v - скорость движения, T - время.

Так как оба мотылька пролетают одинаковое расстояние за одинаковое время, мы можем записать:

\(vs \cdot t = vb \cdot t\).

Мы видим, что время \(t\) сократилось, оставляя нас с:

\(vs = vb\).

Таким образом, скорость движения большого мотылька равна скорости движения маленького мотылька.

Подставим это в наши уравнения (1) и (2):

\(\frac{4\pi Rs}{vs} = tb\) (1")
\(\frac{2\pi Rs}{vs} = ts\) (2")

Теперь мы можем соединить уравнения (1") и (2"):

\(\frac{4\pi Rs}{vs} = \frac{2\pi Rs}{vs}\).

Уничтожая общий множитель \(2\pi Rs\) с каждой стороны уравнения, мы получаем:

\(4 = 2\).

Такое уравнение невозможно.

Таким образом, мотыльки не окажутся в одной точке в будущем.

Ответ: Мотыльки никогда не окажутся в точке на одной линии с фонарем.