1. Напишите множество М целых чисел х, которые находятся в интервале от 3 до 15 и делятся на 3. Напишите двумя

Солнечный_Смайл

47

Хорошо, начнём с первой задачи.

1. Нам нужно найти множество целых чисел \(М\), которые находятся в интервале от 3 до 15 и делятся на 3.

Для этого мы можем пройтись по всем числам в данном интервале, и если число делится на 3 без остатка, добавить его в множество \(М\).

Множество \(М\) будет следующим: \[М = \{3, 6, 9, 12, 15\}\]

2. Теперь рассмотрим множество \(А\) целых чисел \(х\), которые находятся в интервале от 20 до 25 и делятся на 2 и 3.

Аналогично предыдущему пункту, мы пройдёмся по числам в интервале и добавим те числа, которые делятся и на 2, и на 3.

Множество \(А\) будет следующим: \[А = \{24\}\]

3. Теперь рассмотрим следующие множества и определим, какие из них являются конечными, а какие бесконечными:

а) Множество \(P = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 5x + 4 = 0\}\)

Это множество состоит из корней квадратного уравнения \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Чтобы определить конечность или бесконечность множества, нам нужно рассмотреть дискриминант уравнения.

Дискриминант вычисляется по формуле: \[D = b^2 - 4ac\], где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае, \(a = 1\), \(b = -5\) и \(c = 4\).

Подставляя значения в формулу, получим: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\]

Если дискриминант положительный (\(D > 0\)), то у уравнения есть два различных корня, и множество будет состоять из двух элементов. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то уравнение имеет один корень, и множество состоит из одного элемента. В обоих случаях множество будет конечным.

В данном случае, так как \(D = 9 > 0\), множество \(P\) будет конечным и состоять из двух элементов.

б) Множество \(Q = \{x \in \mathbb{N} | x^2 - 5x + 4 > 0\}\)

Для определения, является ли множество \(Q\) конечным или бесконечным, мы должны рассмотреть неравенство \(x^2 - 5x + 4 > 0\) и найти интервалы значений переменной \(x\), для которых неравенство выполняется.

Можно решить это неравенство, используя метод интервалов или дискриминант.

Решим это неравенство, используя дискриминант:

Мы знаем, что дискриминант равен нулю, когда уравнение имеет только один корень. Дискриминант положителен, когда уравнение имеет два различных корня.

Разложим левую часть неравенства на множители: \(x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) > 0\)

Затем находим значения \(x\), для которых неравенство выполняется. В данном случае, неравенство будет выполняться, когда оба множителя положительны или оба множителя отрицательны.

Когда \(x < 1\), оба множителя отрицательны, поэтому неравенство не выполняется.

Когда \(1 < x < 4\), первый множитель положителен, а второй множитель отрицателен. Опять же, неравенство не выполняется.

Когда \(x > 4\), оба множителя положительны, поэтому неравенство выполняется.

Таким образом, множество \(Q\) будет бесконечным и состоит из всех положительных целых чисел больше 4.

4. Равны ли данные множества:

а) \(M_1 = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 2x - 2 = 0\}\) и \(M_2 = \{x \in \mathbb{Q} \land x^2 - 2x - 2 = 0\}\)

Множество \(M_1\) составляют корни уравнения \(x^2 - 2x - 2 = 0\) в множестве действительных чисел \(\mathbb{R}\). А множество \(M_2\) составляют корни того же уравнения, но в множестве рациональных чисел \(\mathbb{Q}\).

Для проверки равенства множеств, нужно убедиться, что у них совпадают все элементы.

Решим уравнение \(x^2 - 2x - 2 = 0\). Используем квадратное уравнение либо посредством дискриминанта, либо посредством разложения на множители. В данном случае воспользуемся дискриминантом.

Подставим значения коэффициентов в формулу для дискриминанта:

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12\)

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), то у уравнения есть два различных корня, и множества \(M_1\) и \(M_2\) будут отличаться.

Таким образом, множества \(M_1\) и \(M_2\) не равны.

б) \(N_1 = \{x \in \mathbb{Z} | \frac{4}{x} - \frac{15}{x} = 0\}\) и \(N_2 = \{x \in \mathbb{Z} | \frac{20}{x} - \frac{30}{x} = 0\}\)

Множество \(N_1\) состоит из целых чисел \(x\), для которых \(\frac{4}{x} - \frac{15}{x} = 0\).

Множество \(N_2\) состоит из целых чисел \(x\), для которых \(\frac{20}{x} - \frac{30}{x} = 0\).

Чтобы проверить равенство множеств, нужно убедиться, что у них совпадают все элементы.

Упростим выражения:

\(\frac{4}{x} - \frac{15}{x} = 0\) решим уравнение:
\(4 - 15 = 0\),
\(-11 = 0\).

\(\frac{20}{x} - \frac{30}{x} = 0\) решим уравнение:
\(20 - 30 = 0\),
\(-10 = 0\).

В обоих случаях получаем противоречие. Ответ на оба уравнения является ложным. Таким образом, ни одно из множеств \(N_1\) и \(N_2\) не имеет элементов, и они равны между собой.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам лучше понять задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, я с удовольствием на них ответю.