1. Найдите а) координаты вектора ⃗, б) длину вектора ⃗, заданного точками A(5; 2;0) и B(-4; 3; 0). 2. Найдите

Saveliy

61

Конечно, я с удовольствием помогу с решением вашей задачи!

1. Для нахождения координат вектора \(\vec{AB}\) необходимо вычесть из координат точки B ( \(x_2; y_2; z_2\) ) координаты точки A ( \(x_1; y_1; z_1\) ).

\(\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)\)

В данной задаче:

\(\vec{AB} = (-4 - 5; 3 - 2; 0 - 0) = (-9; 1; 0)\)

Длина вектора \(\vec{AB}\) вычисляется по формуле:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}\)

Подставим значения:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{(-9)^2 + 1^2 + 0^2}\)

\(|\vec{AB}| = \sqrt{82}\)

Таким образом, координаты вектора \(\vec{AB}\) равны (-9; 1; 0), а его длина равна \(\sqrt{82}\).

2. Чтобы найти координаты точки M, являющейся серединой отрезка AB, необходимо сложить координаты точек A и B и разделить полученные значения на 2.

\(x_M = \frac{{x_A + x_B}}{2}\), \(y_M = \frac{{y_A + y_B}}{2}\), \(z_M = \frac{{z_A + z_B}}{2}\)

Подстановка значений:

\(x_M = \frac{{-5 + (-5)}}{2}\), \(y_M = \frac{{1 + 16}}{2}\), \(z_M = \frac{{10 + (-14)}}{2}\)

\(x_M = -5\), \(y_M = 8.5\), \(z_M = -2\)

Таким образом, координаты точки M равны (-5; 8.5; -2).

3. Угол между прямыми AB и CD можно найти с помощью формулы:

\(\cos\theta = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}}\),

где \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) - векторы, соединяющие соответствующие точки.

Сначала найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):

\(\vec{AB} = (3 - 1; -1 - 1; 0 - 0) = (2; -2; 0)\),

\(\vec{CD} = (4 - 0; -1 - 1; 2 - 0) = (4; -2; 2)\).

Теперь вычислим скалярное произведение:

\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) + 0 \cdot 2 = 18\).

Также найдем длины векторов:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{8}\),

\(|\vec{CD}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{24}\).

Подставим все значения в формулу:

\(\cos\theta = \frac{{18}}{{\sqrt{8} \cdot \sqrt{24}}}\).

Теперь найдем значение угла \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса (\(\arccos\)):

\(\theta = \arccos\left(\frac{{18}}{{\sqrt{8} \cdot \sqrt{24}}}\right)\).

Вычислив данное выражение, получаем значение угла \(\theta\).

4. Уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_0(5; 6; 9)\) и перпендикулярной вектору \(\vec{n}(4; 1; -3)\), может быть записано в виде:

\(4(x - x_0) + 1(y - y_0) - 3(z - z_0) = 0\),

где \((x_0; y_0; z_0)\) - координаты точки \(M_0\).

Подставим значения:

\(4(x - 5) + 1(y - 6) - 3(z - 9) = 0\),

\(4x - 20 + y - 6 - 3z + 27 = 0\),

\(4x + y - 3z = -1\).

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_0(5; 6; 9)\) и перпендикулярной вектору \(\vec{n}(4; 1; -3)\), задается уравнением \(4x + y - 3z = -1\).

5. Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, необходимо проверить, являются ли векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) перпендикулярными. Для этого рассмотрим их скалярное произведение:

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (x_B - x_A)(x_C - x_A) + (y_B - y_A)(y_C - y_A) + (z_B - z_A)(z_C - z_A)\).

Подставим значения:

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1 - 3)(-2 - 1) + (2 - 1)(-2 - 1) + (-1 - 2)(1 - 1)\),

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2)(-3) + (1)(-3) + (-3)(0)\),

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 - 3 + 0\),

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3\).

Так как скалярное произведение векторов не равно нулю, то треугольник ABC не является прямоугольным.

6. Чтобы определить взаимное расположение прямых, необходимо рассмотреть уравнения этих прямых и исследовать их систему. Однако, в данном вопросе информация об второй прямой отсутствует. Для того чтобы дать ответ на этот вопрос, нужна дополнительная информация о второй прямой. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, предоставьте их, и я помогу вам решить задачу.

Я буду рад помочь вам.