1. Найдите длину отрезка АВ, заданного точками А(-3; 2; -4) и В(5; -4; 6). 2. Найдите координаты середины отрезка

Liska

43

Хорошо, приступим к решению задач.

1. Чтобы найти длину отрезка АВ, необходимо использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек А и В соответственно.

В данной задаче, координаты точки А(-3, 2, -4) и В(5, -4, 6), поэтому подставим значения в формулу:

\[d = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2 + (6 - (-4))^2}\]

\[d = \sqrt{8^2 + (-6)^2 + 10^2}\]

\[d = \sqrt{64 + 36 + 100}\]

\[d = \sqrt{200}\]

Упростим квадратный корень:

\[d = \sqrt{100 \cdot 2}\]

\[d = 10 \sqrt{2}\]

Таким образом, длина отрезка АВ равна \(10 \sqrt{2}\).

2. Для того чтобы найти координаты середины отрезка АВ, необходимо найти среднее арифметическое каждой координаты точек А и В. Формула будет выглядеть следующим образом:

\[x_{сред} = \frac{x_1 + x_2}{2}\]
\[y_{сред} = \frac{y_1 + y_2}{2}\]
\[z_{сред} = \frac{z_1 + z_2}{2}\]

Подставим значения из задачи:

\[x_{сред} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
\[y_{сред} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
\[z_{сред} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (1, -1, 1).

3. Чтобы найти координаты векторов AB и AC, необходимо вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки. Для вектора AB:

AB: (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

Подставим значения из задачи:

AB: (7 - (-2), -5 - 5, 1 - (-6)) = (9, -10, 7)

Для вектора AC:

AC: (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)

Подставим значения из задачи:

AC: (3 - (-2), -7 - 5, 4 - (-6)) = (5, -12, 10)

Таким образом, координаты вектора AB равны (9, -10, 7), а координаты вектора AC равны (5, -12, 10).

4. Чтобы найти модуль вектора AB, необходимо использовать формулу длины вектора, которая выглядит следующим образом:

\[|AB| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

Подставим значения из задачи:

\[|AB| = \sqrt{9^2 + (-10)^2 + 7^2}\]

\[|AB| = \sqrt{81 + 100 + 49}\]

\[|AB| = \sqrt{230}\]

Таким образом, модуль вектора AB равен \(\sqrt{230}\).

5. Координаты вектора AC уже были найдены в предыдущем ответе и равны (5, -12, 10).

6. Чтобы найти косинус угла между векторами AB и AC, можно использовать следующую формулу:

\[\cos\theta = \frac{AB \cdot AC}{|AB| \cdot |AC|}\]

где AB и AC - векторы, |AB| и |AC| - их модули, а AB ⋅ AC - скалярное произведение векторов.

Подставим значения из задачи:

\[\cos\theta = \frac{(9 \cdot 5) + (-10 \cdot -12) + (7 \cdot 10)}{\sqrt{230} \cdot \sqrt{230}}\]

\[\cos\theta = \frac{45 + 120 + 70}{230}\]

\[\cos\theta = \frac{235}{230}\]

Таким образом, косинус угла между векторами AB и AC равен \(\frac{235}{230}\).

7. Для нахождения значений переменной x, при которых векторы (x, -4, 3) и (-15, 12, -9) а) перпендикулярны и б) коллинеарны, мы можем использовать свойства векторов.

а) Векторы будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Формула для скалярного произведения:

\[(x \cdot -15) + (-4 \cdot 12) + (3 \cdot -9) = 0\]

Упростим выражение и решим уравнение:

\[-15x - 48 - 27 = 0\]

\[-15x - 75 = 0\]

\[x = \frac{75}{-15} = -5\]

Таким образом, векторы (х, -4, 3) и (-15, 12, -9) перпендикулярны при \(x = -5\).

б) Векторы будут коллинеарны, если они пропорциональны. То есть, существует такое число k, что

\[\frac{x}{-15} = \frac{-4}{12} = \frac{3}{-9}\]

Упростим выражение и решим уравнение:

\[\frac{1}{3}x = \frac{-1}{3}\]

\[x = -1\]

Таким образом, векторы (х, -4, 3) и (-15, 12, -9) коллинеарны при \(x = -1\).

8. Чтобы найти вектор параллельного переноса, при котором точка А(2, -4, 5) переходит в симметричную ей точку, нужно найти разность координат симметричной точки и точки А. Разность будет представлять собой вектор параллельного переноса. Формула выглядит следующим образом:

\[\vec{v} = \vec{B} - \vec{A}\]

где \(\vec{v}\) - искомый вектор, \(\vec{B}\) - координаты симметричной точки, \(\vec{A}\) - координаты точки А.

Подставим значения из задачи:

\[\vec{v} = (2 - (-2), -4 - (-4), 5 - 5)\]

\[\vec{v} = (4, 0, 0)\]

Таким образом, вектор параллельного переноса, при котором точка А(2, -4, 5) переходит в симметричную ей точку, равен (4, 0, 0).