1 Найдите длину отрезка АВ, заданного точками А(-3; 2; -4) и В(5; -4; 6). 2 Найдите координаты середины отрезка

David_4567

2

) будет коллинеарен вектору b(-2, 3, 5).
4 Даны векторы a(3, 1, -2) и b(-1, 4, 3). Найдите векторное произведение векторов a и b.
5 Найдите смешанное произведение векторов a(2, -3, 4), b(1, -2, 2) и c(-1, 3, -2).

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1. Для нахождения длины отрезка АВ в трехмерном пространстве, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]

Подставляя значения координат, получим:

\[AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2 + (6 - (-4))^2} = \sqrt{64 + 36 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]

Таким образом, длина отрезка АВ равна \(10\sqrt{2}\).

2. Чтобы найти координаты середины отрезка АВ, мы можем использовать формулы для нахождения среднего значения координат:

\[x_{mid} = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_{mid} = \frac{y_A + y_B}{2}, \quad z_{mid} = \frac{z_A + z_B}{2}\]

Подставляя значения координат, получим:

\[x_{mid} = \frac{(-3) + 5}{2} = 1, \quad y_{mid} = \frac{2 + (-4)}{2} = -1, \quad z_{mid} = \frac{(-4) + 6}{2} = 1\]

Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (1, -1, 1).

3. Чтобы найти координаты векторов AB и CB, мы можем использовать формулу для нахождения разности координат:

\[AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A), \quad CB = (x_B - x_C, y_B - y_C, z_B - z_C)\]

Подставляя значения координат, получим:

\[AB = (7 - (-2), -5 - 5, 1 - (-6)) = (9, -10, 7), \quad CB = (7 - 3, -5 - (-7), 1 - 4) = (4, 2, -3)\]

Таким образом, координаты векторов AB и CB равны (9, -10, 7) и (4, 2, -3) соответственно.

4. Чтобы найти модуль вектора AB, мы можем использовать формулу для нахождения длины вектора:

\[|AB| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

Подставляя значения координат, получим:

\[|AB| = \sqrt{9^2 + (-10)^2 + 7^2} = \sqrt{81 + 100 + 49} = \sqrt{230}\]

Таким образом, модуль вектора AB равен \(\sqrt{230}\).

5. Чтобы найти координаты вектора s = 2AB - 3CB, мы можем использовать формулу для вычисления линейной комбинации векторов:

\[s = 2 \cdot AB - 3 \cdot CB = (2 \cdot 9 - 3 \cdot 4, 2 \cdot (-10) - 3 \cdot 2, 2 \cdot 7 - 3 \cdot (-3)) = (18 - 12, -20 - 6, 14 + 9) = (6, -26, 23)\]

Таким образом, координаты вектора s равны (6, -26, 23).

6. Чтобы найти косинус угла между векторами AB и CB, мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

\[\cos(\theta) = \frac{AB \cdot CB}{|AB| \cdot |CB|}\]

где AB \cdot CB - скалярное произведение векторов AB и CB, |AB| и |CB| - модули векторов AB и CB.

Сначала найдем скалярное произведение AB \cdot CB:

\[AB \cdot CB = (9, -10, 7) \cdot (4, 2, -3) = 9 \cdot 4 + (-10) \cdot 2 + 7 \cdot (-3) = 36 - 20 - 21 = -5\]

Теперь найдем модули векторов AB и CB:

\[|AB| = \sqrt{230}, \quad |CB| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{29}\]

Подставляя все значения в формулу для косинуса угла, получим:

\[\cos(\theta) = \frac{-5}{\sqrt{230} \cdot \sqrt{29}}\]

Таким образом, косинус угла между векторами AB и CB равен \(\frac{-5}{\sqrt{230} \cdot \sqrt{29}}\).

7. Чтобы определить, при каком значении переменной х вектор а(х) будет коллинеарен вектору b(-2, 3, 5), мы можем использовать условие коллинеарности векторов:

\[\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}\]

Подставляя значения векторов a и b, получим:

\[\frac{x}{-2} = \frac{1}{3} = \frac{-2}{5}\]

Решая эту систему уравнений, получаем:

\[x = \frac{-2}{3}\]

Таким образом, при значении переменной \(x = \frac{-2}{3}\), вектор а(х) будет коллинеарен вектору b(-2, 3, 5).

8. Даны векторы a(3, 1, -2) и b(-1, 4, 3). Чтобы найти векторное произведение векторов a и b, мы можем использовать формулу для вычисления векторного произведения:

\[a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)\]

Подставляя значения векторов a и b, получим:

\[a \times b = (1 \cdot 3 - (-2) \cdot 4, (-2) \cdot (-1) - 3 \cdot 3, 3 \cdot 4 - 1 \cdot (-2)) = (11, -7, 14)\]

Таким образом, векторное произведение векторов a и b равно (11, -7, 14).

9. Найдите смешанное произведение векторов a(2, -3, 4), b(1, -2, 2) и c(-1, 3, -2). Чтобы найти смешанное произведение векторов, мы можем использовать формулу:

\[(a \times b) \cdot c\]

Первым делом найдем векторное произведение векторов a и b:

\[a \times b = (-3 \cdot 2 - 4 \cdot (-2), 4 \cdot 1 - 2 \cdot 2, 2 \cdot (-2) - (-3) \cdot 1) = (-2, 0, -7)\]

Теперь найдем смешанное произведение:

\[(a \times b) \cdot c = (-2 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 - 7 \cdot (-2)) = (-2 + 0 + 14) = 12\]

Таким образом, смешанное произведение векторов a(2, -3, 4), b(1, -2, 2) и c(-1, 3, -2) равно 12.

Пожалуйста, сообщите, если у вас возникли дополнительные вопросы по этим задачам или если нужна помощь с другими математическими вопросами!