1. Найдите длину третьей стороны треугольника и его площадь, если известно, что две стороны равны 6 см и 8 см, а угол

Журавль

48

1. Для нахождения третьей стороны треугольника и его площади воспользуемся теоремой косинусов и формулой площади треугольника.

Дано: сторона AB = 6 см, сторона AC = 8 см, угол BAC = 60°.

Найдем третью сторону треугольника BC с использованием теоремы косинусов. Формула для нахождения третьей стороны треугольника с известными двумя сторонами и углом между ними выглядит следующим образом:

\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(BAC)}\]

\[BC = \sqrt{6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60°)}\]

\[BC = \sqrt{36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2}}\]

\[BC = \sqrt{36 + 64 - 48}\]

\[BC = \sqrt{52}\]

\[BC \approx 7.21\, см\]

Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу площади треугольника через стороны и угол между ними:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(BAC)\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60°)\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[S = 12 \sqrt{3}\]

Ответ: Длина третьей стороны треугольника BC составляет около 7.21 см, а площадь треугольника ABC равна 12√3 квадратных сантиметров.

2. Дано: AB = 3 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°.

Найдем длину стороны BC, используя закон синусов:

\[\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}\]

\[\frac{3}{\sin(45°)} = \frac{BC}{\sin(120°)}\]

\[3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{BC\sqrt{3}}{2}\]

\[BC = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]

\[BC = \frac{3\sqrt{6}}{3}\]

\[BC = \sqrt{6}\]

Ответ: Длина стороны BC треугольника ABC равна √6 сантиметров.

3. Дано: стороны треугольника равны 7 см, 10 см и 13 см.

Для определения типа треугольника воспользуемся теоремой Пифагора. Если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух остальных сторон, то треугольник прямоугольный. Если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух остальных сторон, то треугольник тупоугольный. Если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух остальных сторон, то треугольник остроугольный.

В нашем случае, наибольшая сторона равна 13 см. Проверим теорему Пифагора:

\[13^2 = 7^2 + 10^2\]

\[169 = 49 + 100\]

\[169 = 169\]

Так как формула выполняется, то треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным.

4. Дано: одна из сторон треугольника больше другой на 8 см, угол между ними составляет 120°, третья сторона равна 28 см.

Пусть одна из сторон треугольника равна АВ, а другая сторона равна ВС.

Тогда АВ = ВС + 8 см.

Найдем длины сторон треугольника используя теорему косинусов:

\[\cos(\angle ABC) = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB}\]

\[\cos(120°) = \frac{28^2 + (VC+8)^2 - (VC)^2}{2 \cdot 28 \cdot (VC+8)}\]

\[\cos(120°) = \frac{784 + VC^2 + 16VC + 64 - VC^2}{56 \cdot VC+448}\]

\[\cos(120°) = \frac{VC^2 + 16VC + 848}{56 \cdot VC+448}\]

Поскольку \(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\):

\[-\frac{1}{2} = \frac{VC^2 + 16VC + 848}{56 \cdot VC+448}\]

Умножим обе части уравнения на 56VC+448:

\[-28VC - 224 = VC^2 + 16VC + 848\]

\[0 = VC^2 + 44VC + 1072\]

Для решения квадратного уравнения приведем его к виду: VC^2 + 44VC + 1072 = 0

Решим это уравнение с использованием дискриминанта:

\[D = (44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1072 = 1936 - 4288 = -2352\]

Поскольку дискриминант отрицательный, решений уравнения нет. Это означает, что треугольник с заданными параметрами невозможен.

Ответ: Треугольник с указанными параметрами не существует.

5. Чтобы найти радиус окружности, которая описывает данный треугольник, мы можем воспользоваться формулой радиуса описанной окружности треугольника, которая гласит:

\[R = \frac{abc}{4S}\]

где a, b и c - стороны треугольника, а S - его площадь.

В нашем случае, стороны треугольника равны 7 см, 10 см и 13 см, а площадь мы можем взять из предыдущего решения и она равна 12√3 квадратных сантиметров.

Подставляем значения в формулу:

\[R = \frac{7 \cdot 10 \cdot 13}{4 \cdot 12\sqrt{3}}\]

\[R = \frac{65}{4\sqrt{3}}\]

\[R \approx 3.740\,см\]

Ответ: Радиус окружности, которая описывает данный треугольник, примерно равен 3.740 сантиметрам.