1. Найдите координаты центра сферы и ее радиус по данному уравнению сферы: 2−2⋅+2−2⋅+2+1=0. Координаты центра
1. Найдите координаты центра сферы и ее радиус по данному уравнению сферы: 2−2⋅+2−2⋅+2+1=0. Координаты центра (;;). Радиус = (если необходимо, округлите ответ до тысячных).
2. Получите уравнение сферы при заданных координатах центра (3;−4;5) и точки (3;0;2), принадлежащей этой сфере: ()2+(())2+()2
2. Получите уравнение сферы при заданных координатах центра (3;−4;5) и точки (3;0;2), принадлежащей этой сфере: ()2+(())2+()2
Викторович_3954 36
1. Чтобы найти координаты центра сферы и ее радиус по данному уравнению сферы, нужно привести уравнение сферы к каноническому виду, где центр сферы будет иметь координаты (h, k, l), а радиус будет равен r.Дано уравнение сферы: \(2x^2 - 2y^2 + 2z^2 - 2x - 4y + 2z + 1 = 0\)
Для начала, мы должны объединить коэффициенты при одинаковых степенях и подвести квадратные члены к полной форме.
\(2x^2 - 2y^2 + 2z^2 - 2x - 4y + 2z + 1 = 0\)
Перегруппируем члены:
\((2x^2 - 2x) + (-2y^2 - 4y) + (2z^2 + 2z) + 1 = 0\)
Раскроем скобки:
\(2(x^2 - x) - 2(y^2 + 2y) + 2(z^2 + z) + 1 = 0\)
Теперь давайте завершим квадратное выражение, добавив и вычитая константу, полученную путем деления коэффициента при первой степени переменной на 2 и возведения этой константы в квадрат.
\(2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 2(y^2 + 2y + 1 - 1) + 2(z^2 + z + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})) + 1 = 0\)
Вынесем общий множитель и приведем к четырехчлену:
\(2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 2((y + 1)^2 - 1) + 2((z + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 1 = 0\)
Теперь приведем выражение в каноническую форму:
\((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - ((y + 1)^2 - 1) + (z + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = 0\)
\((x - \frac{1}{2})^2 + (y + 1)^2 + (z + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2}\)
\((x - \frac{1}{2})^2 + (y + 1)^2 + (z + \frac{1}{2})^2 = 2\)
Теперь у нас уравнение сферы в канонической форме. Координаты центра сферы равны \((\frac{1}{2}, -1, -\frac{1}{2})\), а радиус сферы равен \(\sqrt{2}\).
2. Теперь давайте получим уравнение сферы при заданных координатах центра \((3, -4, 5)\) и точки на сфере \((3, 0, 2)\).
Используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве, мы можем определить радиус сферы.
Расстояние между центром сферы \((3, -4, 5)\) и точкой на сфере \((3, 0, 2)\) можно найти следующим образом:
\(r = \sqrt{(3-3)^2 + (-4-0)^2 + (5-2)^2}\)
\(r = \sqrt{0 + 16 + 9}\)
\(r = \sqrt{25}\)
\(r = 5\)
Теперь у нас есть радиус сферы. Подставим данные в уравнение сферы:
\((x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 5)^2 = 5^2\)
\((x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 5)^2 = 25\)
Таким образом, уравнение сферы при заданных координатах центра \((3, -4, 5)\) и точке на сфере \((3, 0, 2)\) будет \((x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 5)^2 = 25\).