Показать, что каждый четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом

Stepan

11

Хорошо, давайте разберем данную задачу подробно.

Чтобы показать, что каждый четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами является квадратом, нам необходимо доказать две вещи:

1. Все углы данного четырехугольника равны 90 градусов.
2. Все стороны данного четырехугольника равны друг другу.

Для начала, допустим, у нас есть четырехугольник ABCD, у которого все стороны равны, обозначим их длину как a.

Теперь рассмотрим угол ADC, который является внутренним углом четырехугольника. Мы знаем, что сумма углов в любом четырехугольнике равна 360 градусов. Поскольку все углы четырехугольника равны, угол ADC равен 360 градусов, деленные на 4, то есть 90 градусов.

То же самое мы можем сказать о каждом угле данного четырехугольника, так как все углы равны между собой.

Теперь перейдем к доказательству равенства всех сторон четырехугольника. Для этого рассмотрим стороны AB и BC. Поскольку у нас уже известно, что угол ABC равен 90 градусов, то с помощью теоремы Пифагора мы можем найти длину гипотенузы треугольника ABC.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенузой является сторона AB, а катетами - стороны BC и AC.

Таким образом, получаем следующее равенство:
\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

У нас есть информация, что стороны AB и BC равны между собой. Пусть их длина равна a. Тогда наше уравнение примет вид:
\[a^2 = a^2 + AC^2\]

Очевидно, что слагаемое \(AC^2\) равно нулю, так как a^2 - a^2 = 0. Это означает, что сторона AC, аналогично сторонам AB и BC, также имеет длину a.

Таким образом, мы доказали, что каждый четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом. Все его стороны равны между собой, а все его углы равны 90 градусов.