1. Найдите модуль вектора, если его скалярный квадрат равен 20. 2. Найдите острый угол ромба, вершинами которого

Krasavchik

15

Хорошо, рассмотрим каждую задачу по порядку:

1. Чтобы найти модуль вектора, нужно извлечь квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора. В данном случае, если скалярный квадрат равен 20, то это значит, что $\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2=20$, где $\Vert \overrightarrow{v}\Vert$ - модуль вектора. Найдем модуль вектора:
$$\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$
Таким образом, модуль вектора равен $2\sqrt{5}$.

2. Чтобы найти острый угол ромба, вершинами которого являются точки А, В, С и Д, нужно вычислить угол между любыми двумя его сторонами. Для этого нам понадобится векторное произведение векторов, образованных этими сторонами. Найдем векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(7-14,3-(-8),-1-(-1))=(-7,11,0)$$
$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}=(1-14,-7-(-8),-1-(-1))=(-13,1,0)$$
Теперь найдем их векторное произведение:
$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ -7& 11& 0\\ -13& 1& 0\end{array}\right|=(0,0,120)$$
Длина этого вектора (модуль векторного произведения) равна:
$$\Vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}\Vert =\sqrt{0^2+0^2+{120}^2}=\sqrt{14400}=120$$
Теперь найдем синус острого угла ромба:
$$\sin (\theta )=\frac{\Vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}\Vert }{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{AD}\Vert }=\frac{120}{\sqrt{(-7{)}^2+{11}^2+0^2}\cdot \sqrt{(-13{)}^2+1^2+0^2}}=\frac{120}{\sqrt{170}\cdot \sqrt{170}}=\frac{120}{170}=\frac{12}{17}$$
Таким образом, острый угол ромба равен $\theta =\arcsin \left(\frac{12}{17}\right)$.

3. а) Чтобы найти уравнение сферы с центром в начале координат и касающейся плоскости $x=2$, нужно найти радиус этой сферы. Радиус сферы равен расстоянию от центра сферы до любой точки на ней. В данном случае, так как сфера касается плоскости $x=2$, значит, расстояние от центра сферы до этой плоскости равно радиусу сферы. Следовательно, уравнение сферы имеет вид $x^2+y^2+z^2=r^2$, где $r$ - радиус сферы. Тогда, чтобы найти этот радиус, нужно решить следующую систему уравнений:
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=r^2\\ x=2\end{array}$$
Подставляем значение $x=2$ в первое уравнение:
$$2^2+y^2+z^2=r^2\Rightarrow 4+y^2+z^2=r^2$$
Таким образом, уравнение сферы с центром в начале координат и касающейся плоскости $x=2$ имеет вид $4+y^2+z^2=r^2$.

3. б) Чтобы найти координаты центра сферы и ее радиус, если сфера задана уравнением $-4x+y^2+z^2=0$, нужно переписать это уравнение в канонической форме. В данном случае, уравнение уже задано в канонической форме (если коэффициент перед $x$ равен -4, то это уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 2). Следовательно, центр сферы находится в начале координат, а радиус равен 2.

4. а) Чтобы проверить, перпендикулярны ли векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, нужно вычислить их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны. Найдем скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$:
$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(4\cdot 1)+(3\cdot (-2))+((-6)\cdot 9)=4-6-54=-56$$
Так как $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-56\ne 0$, то векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ не являются перпендикулярными.

4. б) Чтобы доказать, что векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{c}$, где $p$ и $g$ - некоторые постоянные, заданы соответствующим образом, нужно сравнить координаты этих векторов и убедиться, что они удовлетворяют требованиям. Распишем координаты вектора $\overrightarrow{c}$:
$$\overrightarrow{c}=(-(4p^2+g^2),2p,g)$$
Теперь сравним координаты векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{c}$. Мы видим, что координаты $x$ и $y$ удовлетворяют требованиям. В то же время, координата $z$ вектора $\overrightarrow{c}$ не совпадает с координатой $z$ вектора $\overrightarrow{a}$. Таким образом, векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{c}$ не могут быть заданы указанным образом.

Надеюсь, я смог достаточно подробно разъяснить каждую задачу.