1. Найдите модуль вектора, если его скалярный квадрат равен 20. 2. Найдите острый угол ромба, вершинами которого

Krasavchik

15

Хорошо, рассмотрим каждую задачу по порядку:

1. Чтобы найти модуль вектора, нужно извлечь квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора. В данном случае, если скалярный квадрат равен 20, то это значит, что \(\| \vec{v} \|^2 = 20\), где \(\| \vec{v} \|\) - модуль вектора. Найдем модуль вектора:
\[
\| \vec{v} \| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
Таким образом, модуль вектора равен \(2\sqrt{5}\).

2. Чтобы найти острый угол ромба, вершинами которого являются точки А, В, С и Д, нужно вычислить угол между любыми двумя его сторонами. Для этого нам понадобится векторное произведение векторов, образованных этими сторонами. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\):
\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (7 - 14, 3 - (-8), -1 - (-1)) = (-7, 11, 0)
\]
\[
\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (1 - 14, -7 - (-8), -1 - (-1)) = (-13, 1, 0)
\]
Теперь найдем их векторное произведение:
\[
\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -7 & 11 & 0 \\ -13 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 120)
\]
Длина этого вектора (модуль векторного произведения) равна:
\[
\|\vec{AB} \times \vec{AD}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 120^2} = \sqrt{14400} = 120
\]
Теперь найдем синус острого угла ромба:
\[
\sin(\theta) = \frac{\|\vec{AB} \times \vec{AD}\|}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AD}\|} = \frac{120}{\sqrt{(-7)^2 + 11^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(-13)^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{120}{\sqrt{170} \cdot \sqrt{170}} = \frac{120}{170} = \frac{12}{17}
\]
Таким образом, острый угол ромба равен \(\theta = \arcsin \left( \frac{12}{17} \right)\).

3. а) Чтобы найти уравнение сферы с центром в начале координат и касающейся плоскости \(x = 2\), нужно найти радиус этой сферы. Радиус сферы равен расстоянию от центра сферы до любой точки на ней. В данном случае, так как сфера касается плоскости \(x = 2\), значит, расстояние от центра сферы до этой плоскости равно радиусу сферы. Следовательно, уравнение сферы имеет вид \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\), где \(r\) - радиус сферы. Тогда, чтобы найти этот радиус, нужно решить следующую систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \\
x = 2
\end{cases}
\]
Подставляем значение \(x = 2\) в первое уравнение:
\[
2^2 + y^2 + z^2 = r^2 \Rightarrow 4 + y^2 + z^2 = r^2
\]
Таким образом, уравнение сферы с центром в начале координат и касающейся плоскости \(x = 2\) имеет вид \(4 + y^2 + z^2 = r^2\).

3. б) Чтобы найти координаты центра сферы и ее радиус, если сфера задана уравнением \(-4x + y^2 + z^2 = 0\), нужно переписать это уравнение в канонической форме. В данном случае, уравнение уже задано в канонической форме (если коэффициент перед \(x\) равен -4, то это уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 2). Следовательно, центр сферы находится в начале координат, а радиус равен 2.

4. а) Чтобы проверить, перпендикулярны ли векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), нужно вычислить их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны. Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \cdot 1) + (3 \cdot (-2)) + ((-6) \cdot 9) = 4 - 6 - 54 = -56
\]
Так как \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -56 \neq 0\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не являются перпендикулярными.

4. б) Чтобы доказать, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), где \(p\) и \(g\) - некоторые постоянные, заданы соответствующим образом, нужно сравнить координаты этих векторов и убедиться, что они удовлетворяют требованиям. Распишем координаты вектора \(\vec{c}\):
\[
\vec{c} = \left(-(4p^2 + g^2), 2p, g\right)
\]
Теперь сравним координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\). Мы видим, что координаты \(x\) и \(y\) удовлетворяют требованиям. В то же время, координата \(z\) вектора \(\vec{c}\) не совпадает с координатой \(z\) вектора \(\vec{a}\). Таким образом, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) не могут быть заданы указанным образом.

Надеюсь, я смог достаточно подробно разъяснить каждую задачу.