1) Найдите объем фигуры, образованной при вращении прямоугольника с большей стороной 5 см и меньшей стороной

Nikolaevich

4

1) Чтобы найти объем фигуры, образованной при вращении прямоугольника вокруг его длинной стороны, мы можем использовать формулу объема цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле \[V = \pi r^2 h\], где \(\pi\) - математическая константа (примерное значение 3.14), \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

В этой задаче длинная сторона прямоугольника будет являться длиной основания цилиндра, равной 5 см. Когда прямоугольник вращается вокруг своей длинной стороны, он образует цилиндр высотой, равной меньшей стороне прямоугольника, а радиус основания цилиндра равен половине длины большей стороны прямоугольника.

Таким образом, радиус \(r\) будет равен \(\frac{5}{2}\) см, а высота \(h\) будет равна 3 см.

Подставляя значения в формулу объема цилиндра, получим:

\[V = 3.14 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 \cdot 3\]

Для упрощения вычислений сначала возводим \(\frac{5}{2}\) в квадрат:

\[\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6.25\]

Теперь подставляем значения в формулу и решаем уравнение:

\[V = 3.14 \cdot 6.25 \cdot 3\]

Умножаем числа:

\[V = 58.875\]

Таким образом, объем фигуры, образованной при вращении прямоугольника вокруг его длинной стороны, равен 58.875 кубических сантиметров.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, мы должны учесть все боковые грани призмы и её основания. Формула для вычисления площади полной поверхности призмы выглядит следующим образом: \[S_{\text{полн. пов.}} = 2S_{\text{основания}} + S_{\text{бок. сторон}}\], где \(S_{\text{основания}}\) - площадь одного основания призмы, а \(S_{\text{бок. сторон}}\) - сумма площадей боковых сторон призмы.

В данной задаче основание призмы - треугольник АВС со сторонами 10, 10 и 12, а высота призмы - АА1 (или В1В или С1С) равна 13.

Чтобы найти площадь треугольника, можно воспользоваться формулой Герона: \[S_{\text{треуг.}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\], где \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника, а \(p\) - полупериметр, вычисляемый как \(\frac{a+b+c}{2}\).

Подставляя значения сторон треугольника, получим:

\[p = \frac{10+10+12}{2} = 16\]

\[S_{\text{треуг.}} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)}\]

\[S_{\text{треуг.}} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48\]

Таким образом, площадь одного основания призмы равна 48 квадратным единицам.

Теперь осталось найти площадь боковых сторон призмы. Поскольку у призмы все боковые стороны равны, достаточно найти площадь одной из них и умножить на количество боковых сторон.

Расчет площади боковой стороны призмы можно выполнить с помощью формулы прямоугольника: \[S_{\text{боковой стороны}} = a \cdot h\], где \(a\) - длина стороны основания призмы, а \(h\) - высота призмы.

Подставляя значения, получаем:

\[S_{\text{боковой стороны}} = 10 \cdot 13 = 130\]

Так как у призмы 3 боковые грани, сумма площадей боковых сторон будет равна:

\[S_{\text{бок. сторон}} = 3 \cdot 130 = 390\]

Теперь, используя формулу для площади полной поверхности призмы, можно найти искомую величину:

\[S_{\text{полн. пов.}} = 2S_{\text{основания}} + S_{\text{бок. сторон}} = 2 \cdot 48 + 390\]

\[S_{\text{полн. пов.}} = 96 + 390 = 486\]

Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна 486 квадратным единицам.