1. Найдите площадь поверхности, образующей бок цилиндра, если его основным сечением является квадрат со стороной

Владимирович

50

Хорошо, давайте решим поставленные задачи.

1. Найдем площадь поверхности бока цилиндра. Для этого нужно найти площадь прямоугольной поверхности, которая образует бок цилиндра.

Для цилиндра с квадратным основанием площадь его бока можно найти следующим образом: умножить периметр основания на высоту цилиндра.

Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Для квадрата со стороной 6 см периметр будет равен \(6+6+6+6=24\) см.

Высоту цилиндра не указано в задаче, поэтому предположим, что она также равна 6 см.

Теперь найдем площадь поверхности бока цилиндра. Умножим периметр (24 см) на высоту (6 см):

\[24 \cdot 6 = 144 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь поверхности, образующей бок цилиндра, равна 144 квадратных сантиметра.

2. Чтобы найти объем конуса, мы должны знать формулу для вычисления объема конуса. Формула объема конуса задается как:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - число Пи (примерно 3,14), \(r\) - радиус основания конуса, и \(h\) - высота конуса.

В данной задаче нам уже дан радиус основания (\(r = 5\) см) и образующая (\(l = 13\) см). Но нам не дана высота (\(h\)).

Высоту конуса можно найти с помощью теоремы Пифагора. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. В нашей задаче гипотенуза равна образующей (\(l = 13\) см), один из катетов равен радиусу основания (\(r = 5\) см), а второй катет - это высота конуса (\(h\)).

Поэтому можем написать:

\[r^2 + h^2 = l^2\]

\[5^2 + h^2 = 13^2\]

\[25 + h^2 = 169\]

\[h^2 = 169 - 25\]

\[h^2 = 144\]

\[h = \sqrt{144}\]

\[h = 12\]

Мы нашли высоту конуса (\(h = 12\) см), теперь сможем найти объем.

Подставляем известные значения в формулу объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12\]

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 300\]

\[V = 100 \pi\]

Таким образом, объем конуса равен \(100 \pi\) кубических сантиметров (или примерно 314,16 кубических сантиметров, округляя до двух десятичных знаков).

3. Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, нам понадобятся значения радиуса и апофемы.

Апофема - это отрезок, проведенный из центра правильного многоугольника ко всем его вершинам. В данной задаче апофема уже известна, ее значение равно \(a = 2\sqrt{3}\) см.

Шестиугольная пирамида имеет шестиугольное основание, вписанное в окружность. Поэтому радиус вписанной окружности равен половине стороны шестиугольника.

Теперь найдем длину стороны шестиугольника. Для этого воспользуемся формулой:

\[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

\[r = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\]

\[r = 1\]

Теперь у нас есть значение радиуса (\(r = 1\) см) и апофемы (\(a = 2\sqrt{3}\) см).

Площадь боковой поверхности шестиугольной пирамиды можно найти с помощью формулы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l\]

где \(S\) - площадь поверхности, \(p\) - периметр основания, а \(l\) - апофема.

Найдем периметр основания.

Периметр шестиугольника равен шести сумме его сторон. Так как все стороны равны, то периметр можно выразить как:

\[p = 6s\]

где \(s\) - длина стороны шестиугольника.

Так как радиус вписанной окружности равен длине стороны шестиугольника, периметр будет равен:

\[p = 6r = 6 \cdot 1 = 6\]

Теперь подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности:

\[S = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3}\]

\[S = 6 \sqrt{3}\]

Итак, площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна \(6 \sqrt{3}\) квадратных сантиметров.