1. Найдите площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его оси и делящего боковую поверхность в пропорции

Михайловна

1

Хорошо, давайте решим данные задачи.

1. Найдем площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его оси и делящего боковую поверхность в пропорции 1:5.

Пусть площадь сечения цилиндра равна \(S\), а радиус его основания равен \(r\).
Из условия задачи известно, что высота цилиндра составляет 5 см и площадь его полной поверхности равна 132π см².

Формула для площади боковой поверхности цилиндра:
\[S_{бок} = 2\pi rh\]

Формула для площади полной поверхности цилиндра:
\[S_{полн} = 2\pi r(r + h)\]

По условию задачи нам известно, что площадь полной поверхности равна 132π см². Подставим известные значения в формулу площади и решим уравнение:

\[2\pi r(r + 5) = 132\pi\]

Раскрываем скобки:
\[2\pi r^2 + 10\pi r = 132\pi\]

Делим обе части уравнения на \(2\pi\):
\[r^2 + 5r - 66 = 0\]

Решаем уравнение:
\[r_1 = -11, \quad r_2 = 6\]

Так как радиус не может быть отрицательным, то отбрасываем значение \(r_1 = -11\).
Таким образом, радиус основания цилиндра равен \(r = 6\) см.

2. Найдем радиус основания цилиндра, около которого описана призма.

Пусть радиус основания цилиндра равен \(R\).
Известно, что основание призмы имеет вид ромба с тупым углом \(2\alpha\) и высотой \(h\). Угол \(\beta\) образуется между большей диагональю ромба и его высотой.

Из геометрии ромба известно, что большая диагональ равна \(2R\) и меньшая диагональ равна \(2R \cos(\alpha)\). Также, из треугольника, состоящего из половинки меньшей диагонали ромба, его высоты и радиуса цилиндра, получаем следующее соотношение:
\[\cos(\beta) = \frac{h}{R \cos(\alpha)}\]

Теперь, нам нужно найти связь между радиусом основания цилиндра \(R\) и высотой призмы \(h\) в равенстве градусов, используя углы \(\alpha\) и \(\beta\).
Рассмотрим треугольник, в котором угол \(\beta\) лежит против основания \(R\) и угол \(\alpha\) лежит против высоты \(h\).
Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов:
\[\alpha + \beta + 90 + 90 = 180\]

Упростим уравнение:
\[\alpha + \beta = 180 - 180 = 0\]

Таким образом, получаем, что угол \(\alpha + \beta = 0\).
Произведем замену угла \(\alpha + \beta\) в формуле:
\[\cos(\beta) = \frac{h}{R \cos(\alpha)} = \cos(0)\]

Из тригонометрической формулы получаем:
\[\frac{h}{R \cos(\alpha)} = 1\]
\[h = R \cos(\alpha)\]

Таким образом, радиус основания цилиндра равен \(R = \frac{h}{\cos(\alpha)}\).

Это и есть ответ на вторую задачу. Чтобы ответ был полным, нужно использовать известные значения \(h\) и \(\alpha\).