1.) Найдите площадь земельного участка, ограниченного кривой функции у=3х² и прямыми х=1, х=2, у=0. 2.) Расчитайте

Lunnyy_Homyak

55

1.) Для нахождения площади земельного участка, ограниченного кривой функции \(y=3x^2\) и прямыми \(x=1\), \(x=2\), \(y=0\), мы можем использовать метод интегрирования.

Сначала определим точки пересечения кривой с прямыми.
Приравняем \(y\) к нулю:
\[0=3x^2 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0\]
Таким образом, кривая проходит через точку \((0,0)\).

Приравняем \(x\) к 1:
\[y=3 \cdot 1^2 = 3\]
Таким образом, прямая \(x=1\) проходит через точку \((1,3)\).

Приравняем \(x\) к 2:
\[y=3 \cdot 2^2 = 12\]
Таким образом, прямая \(x=2\) проходит через точку \((2,12)\).

Теперь мы можем построить график и найти площадь участка.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & 0 \\
1 & 3 \\
2 & 12 \\
\hline
\end{array}
\]

Опустив перпендикуляры из точек \((1,3)\) и \((2,12)\) на ось \(Ox\), мы можем заметить, что участок имеет форму прямоугольного трапеции.

Для нахождения площади трапеции, нам необходимо найти длину оснований \(a\) и \(b\) и высоту \(h\).

Длина первого основания \(a\) равна разнице между значениями \(x\) в точках \((2,12)\) и \((0,0)\):
\[a = 2 - 0 = 2\]

Длина второго основания \(b\) равна разнице между значениями \(x\) в точках \((2,12)\) и \((1,3)\):
\[b = 2 - 1 = 1\]

Высота \(h\) равна разнице между значениями \(y\) в точках \((1,3)\) и \((0,0)\):
\[h = 3 - 0 = 3\]

Теперь, найдем площадь трапеции, используя формулу:
\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]
\[S = \frac{{2 + 1}}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}\]

Таким образом, площадь земельного участка, ограниченного кривой функции \(y=3x^2\) и прямыми \(x=1\), \(x=2\), \(y=0\), равна \(\frac{9}{2}\) квадратных единиц.

2.) Для расчета площади земельного участка, ограниченного кривой функции \(y=2x\), прямыми \(x=2\), \(x=3\) и отрезком оси \(Ox\) от 2 до 3, опять же воспользуемся методом интегрирования.

Приравняем \(y\) к нулю и найдем точку пересечения с осью \(Ox\):
\[0=2x \Rightarrow x=0\]
Таким образом, кривая проходит через точку \((0,0)\).

Приравняем \(x\) к 2:
\[y=2 \cdot 2 = 4\]
Таким образом, прямая \(x=2\) проходит через точку \((2,4)\).

Приравняем \(x\) к 3:
\[y=2 \cdot 3=6\]
Таким образом, прямая \(x=3\) проходит через точку \((3,6)\).

Этот участок также имеет форму прямоугольной трапеции.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & 0 \\
2 & 4 \\
3 & 6 \\
\hline
\end{array}
\]

Длина первого основания \(a\) равна разнице между значениями \(x\) в точках \((3,6)\) и \((0,0)\):
\[a = 3 - 0 = 3\]

Длина второго основания \(b\) равна разнице между значениями \(x\) в точках \((3,6)\) и \((2,4)\):
\[b = 3 - 2 = 1\]

Высота \(h\) равна разнице между значениями \(y\) в точках \((2,4)\) и \((0,0)\):
\[h = 4 - 0 = 4\]

Теперь, найдем площадь трапеции:
\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]
\[S = \frac{{3 + 1}}{2} \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8\]

Таким образом, площадь земельного участка, ограниченного кривой функции \(y=2x\), прямыми \(x=2\), \(x=3\) и отрезком оси \(Ox\) от 2 до 3, равна 8 квадратных единиц.

3.) Для определения площади земельного участка, заключенного между кривой функции \(y=x^3\), прямыми \(x=1\), \(x=3\) и отрезком оси \(Ox\) от 1 до 3, снова применим метод интегрирования.

Приравняем \(x\) к 1:
\[y=1^3=1\]
Таким образом, прямая \(x=1\) проходит через точку \((1,1)\).

Приравняем \(x\) к 3:
\[y=3^3=27\]
Таким образом, прямая \(x=3\) проходит через точку \((3,27)\).

Участок имеет форму прямоугольной трапеции.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
1 & 1 \\
3 & 27 \\
\hline
\end{array}
\]

Длина первого основания \(a\) равна разнице между значениями \(x\) в точках \((3,27)\) и \((1,1)\):
\[a = 3 - 1 = 2\]

Длина второго основания \(b\) равна разнице между значениями \(x\) в точках \((3,27)\) и \((3,27)\):
\[b = 3 - 3 = 0\]

Высота \(h\) равна разнице между значениями \(y\) в точках \((1,1)\) и \((3,27)\):
\[h = 27 - 1 = 26\]

Теперь, найдем площадь трапеции:
\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]
\[S = \frac{{2 + 0}}{2} \cdot 26 = 1 \cdot 26 = 26\]

Таким образом, площадь земельного участка, заключенного между кривой функции \(y=x^3\), прямыми \(x=1\), \(x=3\) и отрезком оси \(Ox\) от 1 до 3, равна 26 квадратным единицам.

4.) Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками \(y=-x^2+9\) и \(y=0\), мы можем использовать метод интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения графика \(y=-x^2+9\) с осью \(Ox\):
\[0=-x^2+9 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x= \pm \sqrt{9} \Rightarrow x= \pm 3\]
Таким образом, график пересекает ось \(Ox\) в точках \((-3,0)\) и \((3,0)\).

Теперь мы можем построить график и найти площадь фигуры.

\[y=-x^2+9\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & 0 \\
3 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Фигура, ограниченная графиками \(y=-x^2+9\) и \(y=0\), представляет собой симметричную параболу, отраженную относительно оси \(Ox\), и ограниченную двумя вертикальными линиями.

Чтобы найти площадь фигуры, мы должны найти интеграл от функции \(-x^2+9\) по x от -3 до 3:
\[S = \int_{-3}^{3} (-x^2+9) \,dx\]
Для нахождения интеграла, мы возьмем антипроизводную функции \(-x^2+9\):
\[S = \left[\frac{{-x^3}}{3} + 9x\right]_{-3}^{3}\]
Подставим значения верхнего и нижнего пределов:
\[S = \left(\frac{{-(3)^3}}{3} + 9(3)\right) - \left(\frac{{-(-3)^3}}{3} + 9(-3)\right)\]
\[S = \left(-9 + 27\right) - \left(\frac{{-27}}{3} - 27\right)\]
\[S = 18 - \left(-9 - 27\right)\]
\[S = 18 - 18\]
\[S = 0\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками \(y=-x^2+9\) и \(y=0\), равна 0 квадратным единицам.

5.) Чтобы рассчитать площадь фигуры, ограниченной графиками \(y=x^2\) и \(y=-x+2\), мы также будем использовать метод интегрирования.

Определим точки пересечения графиков \(y=x^2\) и \(y=-x+2\):
\[x^2=-x+2 \Rightarrow x^2+x-2=0\]
Факторизуя, получим:
\[(x-1)(x+2)=0\]
Таким образом, у нас две точки пересечения: \((1,1)\) и \((-2,6)\).

Теперь мы можем построить график и найти площадь фигуры.

\[y=x^2\]
\[y=-x+2\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 6 \\
1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Фигура, ограниченная графиками \(y=x^2\) и \(y=-x+2\), представляет собой параболу, отраженную относительно оси \(Ox\), и прямую линию.

Чтобы найти площадь фигуры, мы должны найти интеграл от функции \(x^2\) минус интеграл от функции \(-x+2\) по x от -2 до 1:
\[S = \int_{-2}^{1} (x^2 - (-x+2)) \,dx\]
Интегрируем каждую функцию по очереди:
\[S = \left[\frac{{x^3}}{3} + \frac{{x^2}}{2}\right]_{-2}^{1} - \left[\frac{{-x^2}}{2} + 2x\right]_{-2}^{1}\]
Подставим значения верхнего и нижнего пределов:
\[S = \left(\frac{{1^3}}{3} + \frac{{1^2}}{2}\right) - \left(\frac{{-2^3}}{3} + \frac{{2^2}}{2}\right) - \left(\frac{{-1^2}}{2} + 2(-1)\right) + \left(\frac{{-(-2)^2}}{2} + 2(-2)\right)\]
\[S = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{-8}{3} + \frac{4}{2}\right) - \left(\frac{-1}{2} - 2\right) + \left(\frac{-4}{2} - 4\right)\]
\[S = \left(\frac{3}{6} + \frac{3}{6}\right) - \left(\frac{-8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{-