Каков объем шара, если высота цилиндра равна 2√7, а длина стороны правильного треугольника, вписанного в его основание

Добрая_Ведьма_9456

68

У нас дано, что высота цилиндра равна \(2\sqrt{7}\) и длина стороны правильного треугольника, вписанного в его основание, равна \(3\sqrt{3}\). Мы хотим найти объем шара, вписанного в этот цилиндр.

Перед тем, как мы начнем, давайте вспомним формулу для объема шара. Объем шара можно найти, используя следующую формулу:

\[
V = \frac{4}{3}\pi r^3
\]

где \(V\) - объем шара, а \(r\) - радиус шара.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти радиус шара \(r\). Радиус шара равен радиусу основания цилиндра, так как шар вписан в цилиндр.

Основание цилиндра - это правильный треугольник. Длина стороны правильного треугольника равна \(3\sqrt{3}\). Зная длину стороны, мы можем найти радиус вписанной окружности правильного треугольника, воспользовавшись формулой:

\[
r = \frac{a}{2\sqrt{3}}
\]

где \(a\) - длина стороны правильного треугольника.

Подставляя значение \(a = 3\sqrt{3}\) в формулу, получаем:

\[
r = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2}
\]

Таким образом, радиус шара \(r = \frac{3}{2}\).

Теперь мы можем найти объем шара, заменяя значение радиуса в формуле:

\[
V = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot\frac{27}{8} = \frac{9\pi}{2}
\]

Ответ: объем шара равен \(\frac{9\pi}{2}\).