Найди площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами, равными 18 дм и углом при основании, равным 30°. Ответ

Zolotoy_Ray

47

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово, чтобы все было понятно школьнику.

У нас есть равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны 18 дм и угол при основании составляет 30°.

Шаг 1: Нарисуем треугольник и отметим известные стороны и углы:

\[
\begin{array}{c}
A \\
\underline{\hspace{2 cm}}\\
\ /\ \ \\
/ \ \ \\
/ \ \
\ /_____\
B C
\end{array}
\]

Так как у нас равнобедренный треугольник, углы при основании (у вех сторон BC и AC) будут равными. Поэтому мы можем обозначить угол при основании как 30°.

Шаг 2: Давайте найдем третий угол треугольника. У нас уже есть угол в 30°. В сумме, углы треугольника всегда равны 180°. Так что, чтобы найти третий угол, мы вычтем 30° из 180°:

\(180° - 30° = 150°\).

Теперь мы знаем, что третий угол треугольника равен 150°.

Шаг 3: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины угла при основании до середины основания, является медианой и одновременно и является биссектрисой этого угла.

Таким образом, мы можем провести высоту из вершины угла при основании (A) до середины основания (BC), и она будет разделять основание пополам:

\[
\begin{array}{c}
A \\
\underline{\hspace{2 cm}}\\
\ /\ \ \\
/ \ \ \\
/ \ \
\ /_____\
B D C
\end{array}
\]

Шаг 4: Теперь у нас есть два равных прямоугольных треугольника (АBD и АСД), где угол при основании составляет 30°.

Шаг 5: Используем связь между радианами и градусами и применим формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C\) для каждого из этих треугольников, чтобы найти их площади.

Для треугольника АBD:
\[
S_1 = \frac{1}{2} \times \frac{AD}{2} \times BD \times \sin 30°
\]

Для треугольника АCD:
\[
S_2 = \frac{1}{2} \times \frac{AD}{2} \times CD \times \sin 30°
\]

Шаг 6: Для решения задачи, нам нужно найти общую площадь треугольника ABC, поэтому мы сложим площади двух треугольников:

\[
S_{\text{ABC}} = S_1 + S_2
\]

Шаг 7: Теперь, подставив известные значения и вычислив, найдем площадь треугольника ABC:

\[
S_{\text{ABC}} = \left( \frac{1}{2} \times \frac{AD}{2} \times BD \times \sin 30° \right) + \left( \frac{1}{2} \times \frac{AD}{2} \times CD \times \sin 30° \right)
\]

Так как треугольник равнобедренный, то \(BD = CD\), поэтому мы можем заменить \(BD\) на \(CD\) в формуле:

\[
S_{\text{ABC}} = \left( \frac{1}{2} \times \frac{AD}{2} \times CD \times \sin 30° \right) + \left( \frac{1}{2} \times \frac{AD}{2} \times CD \times \sin 30° \right)
\]

Теперь у нас два одинаковых слагаемых, поэтому мы можем умножить одно слагаемое на 2:

\[
S_{\text{ABC}} = 2 \times \left( \frac{1}{2} \times \frac{AD}{2} \times CD \times \sin 30° \right)
\]

\[
S_{\text{ABC}} = \frac{AD \times CD \times \sin 30°}{2}
\]

Шаг 8: Подставим значения \(AD = 18\, \text{дм}\), \(CD = \frac{18}{2} = 9\, \text{дм}\) и значение синуса 30°:

\[
S_{\text{ABC}} = \frac{18 \times 9 \times \sin 30°}{2}
\]

Шаг 9: Теперь рассчитаем значение выражения:

\[
S_{\text{ABC}} = \frac{18 \times 9 \times \frac{1}{2}}{2}
\]