1 Найдите угол между отрезком AC и плоскостью BB1D, если угол ADC равен 120 градусам. 2 Определите расстояние от точки

Sobaka

42

Решение:

1. Построим трехмерную систему координат, где точка А находится в начале координат, вектор AC - это прямая, и плоскость BB1D задается уравнением \[x+2y+3z=6\].

Поскольку угол ADC равен 120 градусов, нам известно, что угол между векторами AC и CD равен 120 градусам. Найдем косинус угла между векторами AC и CD с помощью их скалярного произведения:

\[
\cos(\theta) = \frac{AC \cdot CD}{|AC| \cdot |CD|}
\]

Теперь найдем угол между отрезком AC и плоскостью BB1D, используя векторное произведение:

\[
\sin(\phi) = \frac{AC \times n}{|AC| \cdot |n|}
\]

Где \( n = (1, 2, 3) \) - нормаль к плоскости BB1D. Значение угла \(\phi\) можно найти как \(\pi - \arcsin\left(\frac{AC \times n}{|AC| \cdot |n|}\right)\).

2. Чтобы найти расстояние от точки С до плоскости BB1D, воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости, где точка \( (x_1, y_1, z_1) \) и уравнение плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) в данном случае \( x + 2y + 3z - 6 = 0 \):

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

3. Для нахождения величины угла между линией C1O и плоскостью, нам нужно найти угол между линией C1O и её проекцией на плоскость. Это угол между вектором CO и его проекцией на плоскость.

Найдя эти углы, мы можем рассчитать угол между линией C1O и плоскостью.

Вот подробные шаги для всех трех частей задачи.