1) Найти модуль вектора а по заданным координатам точек А, В, С. 2) Найти скалярное произведение векторов а

  • 59
1) Найти модуль вектора а по заданным координатам точек А, В, С.

2) Найти скалярное произведение векторов а и b, используя заданные координаты точек А, В, С.

3) Найти проекцию вектора с на вектор d, используя заданные координаты точек А, В, С.

4) Найти координаты точки М, которая делит отрезок перпендикулярно в отношении α/β, используя заданные координаты точек А, В, С и векторы 2AB+5CB, b=AC, c=b, d=AB, l=AB, a=2.
Валентинович_5759
67
Давайте начнем решение каждой задачи по очереди:

1) Найти модуль вектора \( \vec{a} \) по заданным координатам точек А, В, С.

Для нахождения модуля вектора \( \vec{a} \) по заданным координатам точек, мы используем следующую формулу:

\[ \left|\vec{a}\right| = \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2 + {a_z}^2} \]

Где \( {a_x} \), \( {a_y} \), и \( {a_z} \) - это координаты вектора \( \vec{a} \). Давайте рассчитаем модуль вектора \( \vec{a} \) по заданным координатам точек А, В, С:

Пусть координаты точки A равны \( (x_1, y_1, z_1) \), координаты точки B равны \( (x_2, y_2, z_2) \), а координаты точки C равны \( (x_3, y_3, z_3) \). Тогда вектор \( \vec{a} \) можно найти как разность векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

\[ \vec{a} = \vec{AB} - \vec{AC} \]

где

\[ \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \]
\[ \vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) \]

Теперь мы можем вычислить модуль вектора \( \vec{a} \) по заданным координатам:

\[ \left|\vec{a}\right| = \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2 + {a_z}^2} \]

2) Найти скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), используя заданные координаты точек А, В, С.

Скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по следующей формуле:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \]

Где \( a_x \), \( a_y \), \( a_z \) - это координаты вектора \( \vec{a} \), а \( b_x \), \( b_y \), \( b_z \) - это координаты вектора \( \vec{b} \). Для нахождения скалярного произведения векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) по заданным координатам точек А, В, С, мы можем сначала найти эти векторы:

\[ \vec{a} = \vec{AB} - \vec{AC} \]
\[ \vec{b} = \vec{BC} \]

где

\[ \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \]
\[ \vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) \]
\[ \vec{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2, z_3 - z_2) \]

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) по заданным координатам:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \]

3) Найти проекцию вектора \( \vec{c} \) на вектор \( \vec{d} \), используя заданные координаты точек А, В, С.

Проекция вектора \( \vec{c} \) на вектор \( \vec{d} \) вычисляется по следующей формуле:

\[ \text{proj}_{\vec{d}}(\vec{c}) = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{\left|\vec{d}\right|^2} \cdot \vec{d} \]

Где \( \vec{c} \cdot \vec{d} \) - это скалярное произведение векторов \( \vec{c} \) и \( \vec{d} \), а \( \left|\vec{d}\right|^2 \) - это квадрат модуля вектора \( \vec{d} \). Для нахождения проекции вектора \( \vec{c} \) на вектор \( \vec{d} \) по заданным координатам точек А, В, С, мы сначала находим векторы \( \vec{c} \) и \( \vec{d} \):

\[ \vec{c} = \vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) \]
\[ \vec{d} = \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \]

Теперь мы можем вычислить проекцию вектора \( \vec{c} \) на вектор \( \vec{d} \) по заданным координатам:

\[ \text{proj}_{\vec{d}}(\vec{c}) = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{\left|\vec{d}\right|^2} \cdot \vec{d} \]

4) Найти координаты точки \( M \), которая делит отрезок перпендикулярно в отношении \( \frac{\alpha}{\beta} \), используя заданные координаты точек А, В, С и векторы \( 2\vec{AB} + 5\vec{CB} \), \( \vec{b} = \vec{AC} \), \( \vec{c} = \vec{b} \), \( \vec{d} = \vec{AB} \), \( l = \vec{AB} \).

Let"s break down this problem into steps to find the coordinates of point M:

1) Calculate the vector \( \vec{AB} \) using the coordinates of points A and B:

\[ \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \]

2) Calculate the vector \( \vec{CB} \) using the coordinates of points B and C:

\[ \vec{CB} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2, z_3 - z_2) \]

3) Multiply vector \( \vec{AB} \) by 2, and vector \( \vec{CB} \) by 5:

\[ 2\vec{AB} = (2 \cdot \vec{AB_x}, 2 \cdot \vec{AB_y}, 2 \cdot \vec{AB_z}) \]
\[ 5\vec{CB} = (5 \cdot \vec{CB_x}, 5 \cdot \vec{CB_y}, 5 \cdot \vec{CB_z}) \]

4) Calculate the vector \( \vec{c} \) as \( \vec{b} = \vec{AC} \):

\[ \vec{c} = \vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) \]

5) Calculate the vector \( \vec{d} \) as \( \vec{d} = \vec{AB} \):

\[ \vec{d} = \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \]

6) Calculate the vector \( l \) as \( l = \vec{AB} \):

\[ l = \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \]

7) Calculate the coordinates of point M using the following formula:

\[ (x_M, y_M, z_M) = (x_1, y_1, z_1) + \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \cdot l \]

Где \( \alpha \) и \( \beta \) - это заданные значения отношения.

Это решение должно помочь вам решить каждую из этих задач с подробными пояснениями и пошаговыми решениями. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!