1. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если угол между образующей и диагональю осевого сечения равен

Petr_9085

30

Хорошо, давайте решим эти две задачи попорядку.

Задача 1. Найдём площадь боковой поверхности цилиндра, зная угол между образующей и диагональю осевого сечения равный 45 градусов, и площадь основания цилиндра, равную 16 квадратных сантиметров.

У нас есть два угла, один 90 градусов (прямой угол) и другой равен 45 градусам. Первым делом нам понадобится найти высоту цилиндра, используя теорему Пифагора. Для этого найдём длину образующей.

Мы знаем, что диагональ осевого сечения — это гипотенуза треугольника со сторонами, равными радиусу цилиндра и его высоте. Угол между диагональю и образующей равен 45 градусов, поэтому у нас получается прямоугольный треугольник.

\[d^2 = r^2 + h^2\]

где \(d\) — диагональ осевого сечения, \(r\) — радиус цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.

Раскроем скобки:

\[d^2 = r^2 + h^2\]

Поскольку площадь основания цилиндра составляет 16 квадратных сантиметров, а формула для площади основания цилиндра — \(A_{\text{осн}} = \pi r^2\), подставим известные значения:

\[16 = \pi r^2\]

Теперь выразим \(r\) из этого уравнения:

\[r^2 = \frac{16}{\pi}\]

\[r = \sqrt{\frac{16}{\pi}}\]

Теперь, зная радиус цилиндра и угол между образующей и диагональю, мы можем найти длину образующей. Воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

\(\sin 45 = \frac{r}{d}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{16}{\pi}}}{d}\)

Теперь найдём \(d\):

\(d = \frac{\sqrt{\frac{16}{\pi}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(d = \frac{2\sqrt{\frac{16}{\pi}}}{\sqrt{2}}\)

\(d = \frac{2\sqrt{8\pi}}{\sqrt{2}}\)

\(d = 2\sqrt{4\pi}\)

\(d = 4\sqrt{\pi}\)

Таким образом, длина образующей равна \(4\sqrt{\pi}\).

Теперь найдём высоту цилиндра, используя теорему Пифагора:

\[d^2 = r^2 + h^2\]

\((4\sqrt{\pi})^2 = \left(\sqrt{\frac{16}{\pi}}\right)^2 + h^2\)

\(16\pi = \frac{16}{\pi} + h^2\)

\[h^2 = 16\pi - \frac{16}{\pi}\]

\[h^2 = \frac{16\pi^2 - 16}{\pi}\]

\[h^2 = \frac{16(\pi^2 - 1)}{\pi}\]

\[h = \sqrt{\frac{16(\pi^2 - 1)}{\pi}}\]

По формуле для площади боковой поверхности цилиндра, она вычисляется по формуле \(A_{\text{бок}} = 2\pi rh\), подставим известные значения:

\[A_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 4\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\frac{16(\pi^2 - 1)}{\pi}}\]

Теперь упростим:

\[A_{\text{бок}} = 8\pi \sqrt{\frac{16(\pi^2 - 1)}{\pi}}\]

Окончательный ответ:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(8\pi \sqrt{\frac{16(\pi^2 - 1)}{\pi}}\) квадратных сантиметров.

Теперь перейдём ко второй задаче.

Задача 2. Найдите объём конуса с диаметром основания 18 сантиметров и высотой, равной 2/3 от диаметра.

Данные: диаметр основания = 18 см, высота = 2/3 от диаметра.

Расшифровка и диаграмма могут быть очень полезны при решении этой задачи, но, к сожалению, они не присутствуют в вашем запросе.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема конуса:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

У нас есть диаметр основания, поэтому нам сначала нужно найти радиус.

\(d = 2r\) (где \(d\) — диаметр, а \(r\) — радиус).

Поэтому \(r = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9\) см.

Теперь нам нужно найти высоту конуса. Мы знаем, что высота равна 2/3 от диаметра, поэтому

\(h = \frac{2}{3}d = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12\) см.

Подставим значения в формулу для объема конуса:

\(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 12\)

Выполним расчеты:

\(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 81 \cdot 12\)

\(V_{\text{конуса}} = 3.14 \cdot 27 \cdot 12\)

\(V_{\text{конуса}} = 1018.64\) кубических сантиметров.

Окончательный ответ:
Объем конуса с диаметром основания 18 сантиметров и высотой, равной 2/3 от диаметра, равен 1018.64 кубических сантиметров.