На какие области по площади была разделена поверхность шара, если плоскость, пересекающая диаметр под углом

Yakorica

9

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вспомнить некоторые факты о сечениях шара.

Когда плоскость пересекает шар, она образует круг на поверхности шара. Площадь этого круга будет являться областью, разделенной поверхностью шара.

Дано, что плоскость пересекает диаметр под углом 60 градусов и делит его в соотношении 3:1. Другими словами, плоскость делит диаметр на отрезки длиной 3r и r, где r - радиус шара.

Чтобы определить площадь области, разделенной поверхностью шара, нам необходимо найти длину дуги круга, образованного плоскостью, а затем вычислить площадь этой дуги.

Длина дуги круга можно найти, используя формулу для длины дуги:
\[S = 2\pi r \cdot \frac{{\alpha}}{{360^\circ}}\]
где S - длина дуги в единицах длины (например, метрах), r - радиус шара, а \(\alpha\) - центральный угол дуги в градусах.

В данном случае, у нас есть центральный угол 60 градусов и радиус шара r. Подставляя значения в формулу, получим:
\[S = 2\pi r \cdot \frac{{60}}{{360}} = \frac{{\pi r}}{3}\]

Теперь, чтобы вычислить площадь области, разделенной поверхностью шара, мы можем использовать формулу для площади сектора круга:
\[A = \frac{{S}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2\]
где A - площадь сектора в квадратных единицах (например, квадратных метрах).

Подставляя значение S, получим:
\[A = \frac{{\frac{{\pi r}}{3}}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2 = \frac{{\pi^2 r^3}}{1080}\]

Итак, площадь области, разделенной поверхностью шара, если плоскость, пересекающая диаметр под углом 60 градусов, делит диаметр в соотношении 3 к 1, равна \(\frac{{\pi^2 r^3}}{1080}\).