1. Определите площадь треугольника, если его периметр составляет 38, а радиус вписанной окружности равен 5. 2. Найдите

Мистический_Подвижник_9493

58

Для начала, давайте рассмотрим первую задачу. У нас есть треугольник с периметром 38 и радиусом вписанной окружности 5.

Чтобы найти площадь треугольника, нам понадобится использовать формулу Герона, связанную с полупериметром треугольника \(s\) и длинами его сторон \(a\), \(b\) и \(c\):

\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

Где полупериметр \(s\) вычисляется по формуле:

\[s = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашей задаче треугольник, имеющий периметр 38, будет иметь три стороны, которые мы обозначим \(a\), \(b\) и \(c\). Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен 5, и это будет расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника. Также нам дано, что периметр треугольника равен 38.

Периметр из трех сторон равно сумме длин этих сторон:

\[a + b + c = 38\]

Мы также знаем, что радиус вписанной окружности равен 5, а это означает, что расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника будет также равно 5. Таким образом, мы можем записать следующие равенства:

\[a = b = c - 2r = 38 - 3r\]

Где \(r\) - радиус вписанной окружности, известный нам как 5.

Теперь мы можем заменить \(a\), \(b\) и \(c\) в формуле Герона:

\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

с использованием наших новых значений. Давайте найдем значени первого полупериметра \(s\):

\[s = \frac{38 - 3r}{2}\]

Следовательно,

\[S = \sqrt{\left(\frac{38 - 3r}{2}\right)\left(\frac{38 - 3r}{2} - (38 - 3r)\right)\left(\frac{38 - 3r}{2} - (38 - 3r)\right)\left(\frac{38 - 3r}{2} - (38 - 3r)\right)}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 5, а площадь треугольника можно найти, подставив все значения и вычислив.

Для второй задачи, мы знаем площадь треугольника, равную 145, и радиус вписанной окружности, равный 5. Для нахождения периметра треугольника мы можем использовать формулу:

\[P = 2s\]

Где \(s\) - полупериметр треугольника, который можно найти с помощью формулы:

\[s = \frac{2S}{r}\]

Где \(S\) - площадь треугольника. Подставляя известные значения, получим:

\[s = \frac{2 \cdot 145}{5} = 58\]

Теперь мы можем использовать полупериметр \(s\) для нахождения периметра треугольника:

\[P = 2 \cdot 58 = 116\]

Таким образом, периметр треугольника с площадью 145 и радиусом вписанной окружности 5 будет равен 116.

Для третьей задачи, давайте определим радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике две стороны являются равными, а одна сторона - основание. Поэтому у нас есть боковые стороны, равные 17, и основание треугольника.

Чтобы найти радиус вписанной окружности, мы можем использовать следующую формулу:

\[r = \frac{{A}}{{s}}\]

Где \(A\) - площадь треугольника, а \(s\) - полупериметр треугольника. Площадь треугольника равна:

\[A = rs\]

Полупериметр \(s\) в равнобедренном треугольнике можно найти, используя длины боковых сторон \(a\) и основание \(b\):

\[s = \frac{{a + a + b}}{2} = \frac{{2a + b}}{2} = a + \frac{{b}}{2}\]

С учетом заданных значений, полупериметр будет:

\[s = 17 + \frac{{b}}{2}\]

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

\[A = rs = \left(\frac{{b}}{2}\right)(17 + \frac{{b}}{2})\]

Мы также знаем, что радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника будет равен:

\[r = \frac{{A}}{{s}} = \frac{{(\frac{{b}}{2})(17 + \frac{{b}}{2})}}{{17 + \frac{{b}}{2}}}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 17 и основанием \(b\) будет равен

\[r = \frac{{(\frac{{b}}{2})(17 + \frac{{b}}{2})}}{{17 + \frac{{b}}{2}}}\]

Дайте мне знать, если вам нужны дополнительные объяснения или решения.