Каков объем правильной четырёхугольной пирамиды, если известно, что угол при вершине её диагонального сечения

Fontan

6

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу для объёма пирамиды. Обозначим её V.

Рассмотрим первоначальные данные: угол при вершине диагонального сечения пирамиды равен 120 градусам, а длина радиуса окружности, описанной вокруг этого сечения, обозначим R.

Чтобы начать решение задачи, нам нужно найти высоту пирамиды, так как она понадобится нам для расчёта объёма.

Для этого рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонального сечения пирамиды и радиусом описанной окружности.

Этот треугольник является равносторонним, так как угол при вершине равен 120 градусам. Давайте найдём длину его высоты, обозначим её h.

Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Поскольку треугольник равносторонний, то его основание (в данном случае радиус R) является медианой, и поэтому мы можем воспользоваться формулой:

\[h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}R^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}R\]

Теперь, когда у нас есть значение высоты пирамиды, мы можем перейти к формуле для объёма пирамиды. Обозначим объём V.

\[V = \frac{1}{3}S \cdot h\]

Где S - площадь основания пирамиды. Поскольку у нас нет информации о размере сторон основания пирамиды, то мы не можем найти площадь основания S непосредственно.

Однако, с помощью теоремы Пифагора мы можем найти площадь равностороннего треугольника, образованного стороной основания пирамиды и её половиной диагональю. Обозначим эту площадь S₁.

\[S₁ = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Где a - длина стороны основания пирамиды.

Поскольку диагональное сечение является половиной диагональю основания пирамиды, а сторона основания равносторонняя, то длина стороны основания равна удвоенной длине радиуса описанной окружности.

\[a = 2R\]

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды, заменив значение a в формуле для S₁.

\[S₁ = \frac{\sqrt{3}}{4}(2R)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(4R^2) = \sqrt{3}R^2\]

Теперь, когда у нас есть значение площади основания пирамиды, мы можем найти объём, заменив значения S и h в формуле для V.

\[V = \frac{1}{3}\sqrt{3}R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R = \frac{\sqrt{3}}{6}R^3\]

Итак, ответ на задачу состоит в том, что объём правильной четырёхугольной пирамиды равен \(\frac{\sqrt{3}}{6}R^3\), где R - длина радиуса окружности, описанной вокруг диагонального сечения пирамиды.