1) Определите площадь треугольника, описанного вокруг круга с радиусом r, где r = 1. 2) В треугольной пирамиде

Маргарита

23

Конечно! Я с радостью помогу вам решить эти задачи. Начнём с первой задачи:

1) Определение площади треугольника, описанного вокруг круга с радиусом \(r = 1\):

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства треугольника, описанного вокруг круга. Такой треугольник называется описанным треугольником. Одно из этих свойств заключается в том, что середина каждой стороны треугольника соединяет вершину треугольника с центром описанной окружности.

Чтобы найти площадь описанного треугольника, мы можем использовать формулу, основанную на радиусе описанной окружности и длинах сторон треугольника. В нашем случае радиус описанной окружности \(r = 1\), поэтому задача упрощается.

Давайте распишем шаги поиска площади треугольника:

- Шаг 1: Найдите длину стороны треугольника, используя формулу \(a = 2r\). Подставим \(r = 1\) и найдём \(a\):
\[a = 2 \cdot 1 = 2\]

- Шаг 2: Найдите площадь треугольника, используя формулу Герона, которая основана на длинах сторон треугольника. Пусть \(p\) будет полупериметром треугольника, а \(S\) - его площадью. Используя формулу Герона, имеем:
\[p = \frac{a + a + a}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-a)} = \sqrt{3 \cdot (3-2) \cdot (3-2) \cdot (3-2)} = \sqrt{3}\]

Итак, площадь треугольника, описанного вокруг круга с радиусом \(r = 1\), равна \(\sqrt{3}\) единиц.


Теперь перейдем ко второй задаче:

2) Найдите объем треугольной пирамиды со стороной основания 2 и апофемой, наклоненной к плоскости основания под углом 60 градусов:

Для решения этой задачи нам понадобится вычислить объем пирамиды. Объем прямой пирамиды можно найти, используя формулу \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Давайте проанализируем условие задачи и решим её:

- Шаг 1: Найдите площадь основания пирамиды. У нас основание имеет форму треугольника, поэтому мы можем использовать формулу для площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\), где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, \(C\) - угол между этими сторонами.

Подставим известные значения и вычислим площадь основания:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\]

- Шаг 2: Найдите высоту пирамиды. Высота пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. В нашем случае, высоту назовём \(h\). Для этого построим высоту, которая будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника с прямым углом между \(h\) и основанием пирамиды, апофемой. Тогда по теореме Пифагора получим \(h\):

\[h = \sqrt{{\text{апофема}}^2 - \left(\frac{\text{сторона основания}}{2}\right)^2}\]
Подставим известные значения и найдём \(h\):
\[h = \sqrt{1^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0\]

- Шаг 3: Найдите объем пирамиды, используя формулу \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\). Подставим найденные значения и рассчитаем объем:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 0 = 0\]

Итак, объем заданной треугольной пирамиды равен 0 единиц.