1. Перечислите точки, которые находятся: а) на оси Оy; б) в плоскости Оху. А (-2; 3; 0), В (0; 0; -4), С (0; -5

Янтарь

13

Хорошо, давайте решим эти задачи по очереди.

1. Перечислим точки в соответствии с условиями:
а) Точки на оси Oy: A (0; 3; 0), C (0; -5; 0), G (0; 5; 1).
б) Точки в плоскости Oxу: A (-2; 3; 0), B (0; 0; -4), C (0; -5; 0), D (-7; 3; 1), E (1; 0; 0), F (1; 1; -1), G (0; 5; 1), K (0; 0; 0).

2. Чтобы задать два непараллельных вектора, нам понадобится выбрать две точки. Давайте возьмем точки A (0; 0; 0) и B (1; 1; 1). Тогда векторы можно задать как:
\(\vec{AB} = (1 - 0; 1 - 0; 1 - 0) = (1; 1; 1)\) и \(\vec{BA} = (-1; -1; -1)\).

Чтобы построить сумму векторов \(\vec{AB} + \vec{BA}\), сложим соответствующие координаты:
\(\vec{AB} + \vec{BA} = (1 + (-1); 1 + (-1); 1 + (-1)) = (0; 0; 0)\).

Таким образом, сумма векторов \(\vec{AB} + \vec{BA}\) равна нулевому вектору.

3. Даны точки A (-4; 1; 2) и B (5; 6; -9):
а) Чтобы найти длину вектора \(\vec{AB}\), нужно использовать формулу для вычисления длины вектора. Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле: \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\).
Применяя эту формулу, длина вектора \(\vec{AB}\) будет равна:
\(\sqrt{(5 - (-4))^2 + (6 - 1)^2 + (-9 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + 5^2 + (-11)^2} = \sqrt{81 + 25 + 121} = \sqrt{227}\).

б) Чтобы найти середину отрезка AB, нужно найти среднее арифметическое для каждой координаты. Для точки в трехмерном пространстве это будет равно половине суммы соответствующих координат:
Координаты середины отрезка AB будут:
\(x_{\text{середина}} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-4 + 5}{2} = \frac{1}{2}\),
\(y_{\text{середина}} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2}\),
\(z_{\text{середина}} = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{2 + (-9)}{2} = \frac{-7}{2}\).

Таким образом, координаты середины отрезка AB будут (1/2; 7/2; -7/2).

4. Даны векторы \(\vec{v} = (1; -3; 2)\) и \(\vec{u} = (-2; 4; -1)\):
а) Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{u}\), нужно умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения:
\(\vec{v} \cdot \vec{u} = 1 \cdot (-2) + (-3) \cdot 4 + 2 \cdot (-1) = -2 - 12 - 2 = -16\).

Таким образом, результат скалярного произведения векторов \(\vec{v}\) и \(\vec{u}\) равен -16.

б) Чтобы найти значение косинуса угла \(\theta\) между векторами \(\vec{v}\) и \(\vec{u}\), нужно использовать формулу: \(\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\|\vec{v}\| \cdot \|\vec{u}\|}\).
\(\|\vec{v}\|\) - длина вектора \(\vec{v}\),
\(\|\vec{u}\|\) - длина вектора \(\vec{u}\).

Вычислим длины векторов:
\(\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}\),
\(\|\vec{u}\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}\).

Подставим значения в формулу для косинуса угла \(\theta\):
\(\cos \theta = \frac{-16}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-16}{\sqrt{294}} = -\frac{16}{\sqrt{294}}\).

Таким образом, значение косинуса угла \(\theta\) равно \(-\frac{16}{\sqrt{294}}\).

5. Часть данных, относящихся к вектору \(\vec{w}\), обрывается. Если у вас есть более полные данные, пожалуйста, предоставьте их, и я помогу вам найти координаты вектора \(\vec{w}\).