1. Перепишите неравенство: найти значения x, для которых 2sin x > √3. 2. Определите, сколько целых решений имеет

Южанин

20

1. Начнем с переписывания данного неравенства: \(2\sin x > \sqrt{3}\).
Для начала, давайте разделим оба выражения на 2, чтобы упростить неравенство: \(\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Так как мы ищем значения \(x\), для которых это неравенство верно, давайте рассмотрим интервалы, в которых \(\sin x\) принимает значения больше \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значение \(\sin x\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = \frac{2\pi}{3}\).

Таким образом, мы можем сказать, что \(\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}\) для всех \(x\), которые находятся в интервалах \((\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)\), где \(k\) - целое число.

2. Давайте рассмотрим неравенство \(5\sin x - 2\sin^2 x \geq 0\) на интервале \([1, 7]\).
Для того чтобы найти количество целых решений этого неравенства, нам понадобится построить график функции \(y = 5\sin x - 2\sin^2 x\).

На данном интервале у нас будут три случая:
- Если функция положительна на интервале, то неравенство выполняется для всех значений \(x\) на этом интервале.
- Если функция отрицательна на интервале, то неравенство не выполняется для всех значений \(x\) на этом интервале.
- Если функция равна нулю на интервале, то неравенство выполняется при \(x\), равном корню функции.

Мы можем вычислить значения функции в граничных точках интервала:
- \(y(1) = 5\sin 1 - 2\sin^2 1 \approx 4.03\)
- \(y(7) = 5\sin 7 - 2\sin^2 7 \approx -3.56\)

Так как \(y(1)\) положительно, а \(y(7)\) отрицательно, неравенство \(5\sin x - 2\sin^2 x \geq 0\) выполняется для всех значений \(x\) на интервале \([1, 7]\).

3. Мы должны найти значение выражения \(3\tan^2 x_0 - 1\), где \(x_0\) является наименьшим положительным корнем уравнения \(2\cos^2 x + 5\sin x - 4 = 0\).

Для начала, найдем корни уравнения \(2\cos^2 x + 5\sin x - 4 = 0\). Для этого нам понадобится использовать различные методы, такие как графический метод или метод подстановки.

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) будут корнями данного уравнения.

Наименьший положительный корень \(x_0\) будет минимумом между \(x_1\) и \(x_2\).

Теперь, мы можем выразить значение выражения \(3\tan^2 x_0 - 1\), используя найденное значение \(x_0\).

4. Нужно решить уравнение \((\sin x + \cos x)^2 = 1 + \cos x\) и найти значение наименьшего по модулю корня уравнения, выраженное в градусах.

Давайте начнем квадратированием обоих выражений в данном уравнении, чтобы избавиться от квадратного корня:

\(\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \cos x\).

Произведем некоторые алгебраические преобразования:

\(1 - \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \cos x\).

Теперь сгруппируем все слагаемые:

\(-\cos^2 x + 2\sin x\cos x - \cos x = 0\).

Для решения этого уравнения нам понадобится факторизация или использование метода подстановки.

Следующим шагом было бы определить корни этого уравнения. Затем, нам нужно выбрать наименьший корень по модулю, и выразить его в градусах. Это даст нам ответ на эту задачу.

Я надеюсь, что эти разъяснения и пошаговые решения помогут вам понять данные задачи школьного уровня. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!