1. Перепишите векторы в виде линейной комбинации: AB - 3BC + 4CD 2. Найдите длины векторов AB, BC и CD 3. Найдите

Магический_Вихрь_5496

33

Хорошо! Давайте решим задачу поэтапно.

1. Перепишем векторы в виде линейной комбинации:
Вектор AB = B - A = (7; 4; 3) - (1; 0; 1) = (6; 4; 2)
Вектор BC = C - B = (3; -5; 1) - (7; 4; 3) = (-4; -9; -2)
Вектор CD = D - C = (-2; -1; 5) - (3; -5; 1) = (-5; 4; 4)

Теперь можем записать данное выражение в виде линейной комбинации:
AB - 3BC + 4CD = (6; 4; 2) - 3(-4; -9; -2) + 4(-5; 4; 4)

Раскроем скобки:
AB - 3BC + 4CD = (6; 4; 2) + (12; 27; 6) + (-20; 16; 16) = (-2; 47; 24)

2. Найдём длины векторов AB, BC и CD:
Длина вектора AB = √(6^2 + 4^2 + 2^2) = √(36 + 16 + 4) = √56 ≈ 7.483
Длина вектора BC = √((-4)^2 + (-9)^2 + (-2)^2) = √(16 + 81 + 4) = √101 ≈ 10.050
Длина вектора CD = √((-5)^2 + 4^2 + 4^2) = √(25 + 16 + 16) = √57 ≈ 7.550

3. Найдём косинусы углов между векторами AB и BC, и BC и CD:
Косинус угла между векторами AB и BC равен скалярному произведению векторов AB и BC, делённому на произведение их длин.
cos(θ) = (AB • BC) / (|AB| * |BC|)
где AB • BC — скалярное произведение векторов AB и BC

AB • BC = 6*(-4) + 4*(-9) + 2*(-2) = -24 - 36 - 4 = -64
|AB| = √56 ≈ 7.483
|BC| = √101 ≈ 10.050

cos(θ) = -64 / (7.483 * 10.050) ≈ -0.850

Аналогично, косинус угла между векторами BC и CD можно найти следующим образом:
BC • CD = (-4)*(-5) + (-9)*4 + (-2)*4 = 20 - 36 - 8 = -24
|BC| = √101 ≈ 10.050
|CD| = √57 ≈ 7.550

cos(θ) = -24 / (10.050 * 7.550) ≈ -0.320

4. Найдём скалярное произведение (AB + CD) на AD:
Для начала найдём вектор AD:
AD = D - A = (-2; -1; 5) - (1; 0; 1) = (-3; -1; 4)

Теперь найдём скалярное произведение (AB + CD) и AD:
(AB + CD) • AD = (-2 + (-3))*(-3) + (47 + (-1))*(-1) + (24 + 4)*4
= (-5)*(-3) + 46*(-1) + 28*4 = 15 - 46 + 112 = 81

5. Найдём векторное произведение BD и AC, затем найдём скалярное произведение с AB:
Векторное произведение векторов находим по формуле:
BD x AC = |BD| * |AC| * sin(θ) * n
где |BD| и |AC| — длины векторов BD и AC соответственно, sin(θ) — синус угла между векторами, и n — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами BD и AC.

Сначала найдём векторное произведение BD x AC:
BD = B - D = (7; 4; 3) - (-2; -1; 5) = (9; 5; -2)
AC = A - C = (1; 0; 1) - (3; -5; 1) = (-2; 5; 0)

BD x AC = (9; 5; -2) x (-2; 5; 0)

Вычислим скалярное произведение AB и (BD x AC) следующим образом:
AB • (BD x AC) = (6; 4; 2) • (9; 5; -2)
= 6*9 + 4*5 + 2*(-2)
= 54 + 20 - 4
= 70

6. Определим, являются ли векторы AB и CD коллинеарными:
Для того чтобы векторы AB и CD были коллинеарными, их можно записать в виде одного вектора, умноженного на некоторое число.
Если существует такое число k, что AB = k * CD, то векторы коллинеарны.

Проверим это условие:
AB = (-2; 47; 24) и CD = (-5; 4; 4)
AB_x / CD_x = -2 / -5 = 2/5
AB_y / CD_y = 47 / 4 ≈ 11.75
AB_z / CD_z = 24 / 4 = 6

Мы видим, что коэффициенты не равны, поэтому векторы AB и CD не являются коллинеарными.

7. Определим, являются ли векторы AB и CD ортогональными:
Для того чтобы векторы AB и CD были ортогональными, их скалярное произведение должно быть равно нулю: AB • CD = 0.

Проверим это условие:
AB • CD = (-2; 47; 24) • (-5; 4; 4)
= -2*(-5) + 47*4 + 24*4
= 10 + 188 + 96
= 294

Так как AB • CD ≠ 0, то векторы AB и CD не являются ортогональными.

Задача успешно решена! Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.