1) Подсчитайте количество пятизначных чисел, у которых разница между суммой двух первых цифр и двух последних цифр

Chernaya_Meduza

35

1) Чтобы решить данную задачу, мы рассмотрим все возможные значения суммы двух первых цифр и двух последних цифр и найдем, сколько пятизначных чисел им соответствуют.

Разница между суммой двух первых цифр и двух последних цифр должна быть не больше 2. Если мы обозначим первую цифру числа как \(a\), вторую цифру как \(b\), третью цифру как \(c\), четвертую цифру как \(d\) и пятую цифру как \(e\), то данное условие можно записать следующим образом:

\(|(a + b) - (d + e)| \leq 2.\)

Здесь мы используем модуль разности \((a + b) - (d + e)\), так как в условии сказано, что разница не должна превышать 2. Заметим, что сумма цифр числа любого разряда не может быть больше 9, так как мы рассматриваем пятизначные числа.

Нам нужно рассмотреть все возможные значения суммы двух первых цифр и двух последних цифр, учитывая условие \(|(a + b) - (d + e)| \leq 2\). В таблице ниже приведены все возможные значения суммы и количество соответствующих им комбинаций цифр:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Разность} & \text{Количество комбинаций} \\
\hline
0 & 100 \\
\hline
1 & 180 \\
\hline
2 & 280 \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, существует 100 комбинаций цифр с разностью 0, 180 комбинаций с разностью 1 и 280 комбинаций с разностью 2. Общее количество пятизначных чисел будет равно сумме всех этих комбинаций: \(100 + 180 + 280 = 560\). Итак, количество пятизначных чисел, удовлетворяющих заданному условию, равно 560.

2) Чтобы решить вторую задачу, мы будем аналогично рассматривать все возможные значения суммы двух первых и двух последних цифр в восьмеричной записи числа.

В восьмеричной системе счисления цифры могут принимать значения от 0 до 7. Обозначим первую и вторую цифры числа как \(a\) и \(b\) соответственно, а четвертую и пятую цифры как \(d\) и \(e\). Условие задачи можно записать следующим образом:

\(a + b + d + e = N,\)

где \(N\) - искомое число, а \(a\), \(b\), \(d\), \(e\) - цифры в восьмеричной системе.

Нам нужно определить, сколько существует таких комбинаций цифр \(a\), \(b\), \(d\), \(e\), при которых сумма равна числу \(N\).

Для каждого значения суммы от 0 до 14, мы можем построить таблицу с количеством соответствующих комбинаций цифр:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Сумма} & \text{Количество комбинаций} \\
\hline
0 & 1 \\
\hline
1 & 4 \\
\hline
2 & 10 \\
\hline
3 & 20 \\
\hline
4 & 35 \\
\hline
5 & 56 \\
\hline
6 & 84 \\
\hline
7 & 120 \\
\hline
8 & 165 \\
\hline
9 & 220 \\
\hline
10 & 286 \\
\hline
11 & 364 \\
\hline
12 & 455 \\
\hline
13 & 560 \\
\hline
14 & 680 \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, мы можем определить количество чисел \(N\) в восьмеричной записи, у которых сумма двух первых и двух последних цифр равна сумме из таблицы. Например, если сумма равна 2, то существует 10 комбинаций цифр, у которых сумма равна этому числу.

Пожалуйста, обратите внимание, что таблица содержит количество комбинаций цифр, а не количество чисел \(N\). Означает ли это, что количество чисел \(N\) равно количеству комбинаций?