1) Подтвердите, что для всех возможных значений переменной x значение дроби -х2(в квадрате)/х2+ 5 является

Анжела

22

1) Для подтверждения того, что значение дроби \(-\frac{x^2}{x^2+5}\) является неположительным для всех возможных значений переменной x, нам нужно проанализировать знак данной дроби.

Итак, начнем с выражения \(-\frac{x^2}{x^2+5}\). Чтобы определить знак данной дроби, мы можем рассмотреть знак числителя и знаменателя отдельно.

Начнем с числителя: \(x^2\). Поскольку это квадрат переменной, оно всегда будет неотрицательным, то есть \(x^2 \geq 0\).

Затем рассмотрим знаменатель: \(x^2+5\). Поскольку \(x^2\) неотрицательно для всех значений x, то \(x^2 + 5 \geq 5\), что означает, что знаменатель всегда будет больше нуля, то есть \(x^2 + 5 > 0\).

Теперь, чтобы определить знак дроби в целом, мы можем разделить числитель на знаменатель и проанализировать случаи. Так как числитель отрицательный (\(-x^2\)) и знаменатель положительный (\(x^2+5 > 0\)), результатом деления будет отрицательное число, то есть \(-\frac{x^2}{x^2+5} < 0\).

Таким образом, значение дроби \(-\frac{x^2}{x^2+5}\) будет неположительным для всех возможных значений переменной x.

2) Для подтверждения того, что значение дроби \(\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}\) является неотрицательным и большим для всех возможных значений переменной x, мы должны проанализировать ее знак.

Предлагаю рассмотреть данную дробь более подробно и найти ее упрощенное выражение.

Первым шагом будет факторизация числителя и знаменателя для определения корней исходного уравнения. Давайте разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\)

Знаменатель: \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\)

Теперь заметим, что и числитель, и знаменатель являются квадратами биномов и, следовательно, всегда будут неотрицательными.

Теперь мы можем выразить исходную дробь в более простой форме: \(\frac{(x + 2)^2}{(x - 1)^2}\).

Рассмотрим несколько случаев для значения данной дроби:

1. Если \(x-1 > 0\), то \(x > 1\). В этом случае числитель и знаменатель будут положительными и дробь будет положительной.

2. Если \(x-1 < 0\), то \(x < 1\). В этом случае числитель и знаменатель также будут положительными, и дробь снова будет положительной.

3. Если \(x-1 = 0\), то \(x = 1\). В этом случае числитель и знаменатель равны нулю, и значение дроби равно 0, что также является неотрицательным.

Таким образом, мы получаем, что значение дроби \(\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}\) является неотрицательным и большим для всех возможных значений переменной x.