1) Покажите, что одно из пересечений диагоналей параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, в то время

Ягодка

30

1) Чтобы показать, что одно из пересечений диагоналей параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, нам понадобится доказать, что это пересечение является прямоугольником. Давайте рассмотрим параллелепипед с основаниями ABCD и EFGH, где ABFE, BCGF и CDAH - прямоугольники.

А) Перпендикулярность пересечения диагоналей к плоскости основания:
Мы знаем, что диагонали прямоугольников ABCD и EFGH, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в точке O.
Для начала, давайте докажем, что пересечение диагоналей является прямоугольником.

Пересечение диагоналей EF и AH:
Диагонали EF и AH пересекаются в точке O.
Для доказательства прямоугольности этого пересечения, нам необходимо показать, что все четыре угла этого пересечения являются прямыми углами.
Один из способов это сделать - это показать, что все четыре треугольника, образованные диагоналями и сторонами параллелепипеда, являются прямоугольными треугольниками.

Рассмотрим, например, треугольник BEO (смотрите схему):
- Сторона BO параллельна стороне EF, так как они являются противоположными сторонами параллелепипеда.
- Сторона EO параллельна стороне AB, так как они являются противоположными сторонами прямоугольника ABCD.
- Сторона BE является общей стороной для прямоугольника ABCD и параллелограмма BCGF.
Таким образом, по свойству параллельных линий, угол BEO равен 90°.

Аналогично, можно доказать, что углы AFO, DOH и CGO также равны 90°, и тем самым доказать, что пересечение диагоналей является прямоугольником.

Теперь, чтобы показать, что это пересечение перпендикулярно плоскости основания, нам нужно доказать, что диагонали пересекаются под прямым углом с основанием, например, с плоскостью ABCD.

Покажем это на примере диагонали EF:
- Рассмотрим треугольник ABC (на схеме):
- AB и AC являются сторонами прямоугольника ABCD, а значит, они перпендикулярны плоскости ABCD.
- EF пересекает AB и AC в точках B и C соответственно.
- Если диагонали пересекаются под прямым углом с линиями, то их продолжение также будет пересекаться под прямым углом.
- Следовательно, EF пересекает плоскость ABCD под прямым углом, что означает, что пересечение диагоналей является перпендикулярным к плоскости основания.

Аналогичные рассуждения могут быть применены к другим диагоналям, например, к диагоналям FG и EH. Таким образом, мы доказали, что одно из пересечений диагоналей параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, а другое является прямоугольником.

2) Чтобы представить верхнее основание параллелепипеда визуально на нижнем основании, мы можем использовать проекцию. Проекция - это визуальное отображение фигуры на плоскость. В данном случае, мы хотим представить верхнее основание на плоскости, которая совпадает с нижним основанием.

Для начала, нарисуем параллелограмм ABCD, который является верхним основанием. Затем, проведем вертикальные линии из каждой вершины параллелограмма до нижнего основания EFGH. Таким образом, мы получим проекции вершин A, B, C и D на нижнем основании.

3) Чтобы связать одну из вершин параллелепипеда с тремя ближайшими вершинами, чтобы образовался правильный тетраэдр с острым углом ромба, равным 60°, нам нужно выбрать вершину параллелепипеда и соединить ее с тремя ближайшими вершинами таким образом, чтобы в полученном тетраэдре угол между прямыми, соединяющими вершины, был равен 60°.

Предположим, что выбранная вершина нижнего основания параллелепипеда - это вершина A. Тогда три ближайшие вершины параллелепипеда, которые мы связываем с вершиной A, - это вершины B, C и E.

Итак, возьмем вершину A и соединим ее с каждой из вершин B, C и E. Получим три ребра.
Для образования правильного тетраэдра, эти ребра должны быть равными, а угол между ними должен быть 60°.

Допустим, сторона параллелограмма ABCD равна a, в этом случае мы можем выразить высоту параллелепипеда через сторону a следующим образом:

Высота параллелепипеда равна высоте равностороннего треугольника, образованного тремя его вершинами (той, с которой мы связываем вершину A).

Высота равностороннего треугольника равна \(\sqrt{3}/2\), умноженная на сторону а.

Таким образом, высота параллелепипеда равна \(\sqrt{3}/2 \cdot a\).