1. Посчитайте, используя формулы сложения: а) Какое значение имеет sin285? б) Какое значение имеет cos^2 15 - cos^2

Янтарь

37

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1а) Чтобы посчитать значение sin 285, мы можем использовать формулу синуса двойного угла: \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\). В данном случае, мы можем представить \(285\) как сумму \(180 + 105\). Применяя формулу для синуса двойного угла, получим:
\[
\sin 285 = \sin (180 + 105) = \sin 180 \cos 105 + \cos 180 \sin 105
\]
Так как \(\sin 180 = 0\) и \(\cos 180 = -1\), у нас останется только \(\cos 105\) и \(\sin 105\). Мы можем использовать формулу синуса угла суммы для нахождения их значений:
\[
\begin{align*}
\cos 105 &= \cos (45 + 60) = \cos 45 \cos 60 - \sin 45 \sin 60 \\
\sin 105 &= \sin (45 + 60) = \sin 45 \cos 60 + \cos 45 \sin 60
\end{align*}
\]
Мы знаем, что \(\cos 45 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 45 = \frac{\sqrt{2}}{2}\), а также \(\cos 60 = \frac{1}{2}\) и \(\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляя значения, получим:
\[
\cos 105 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
\]
\[
\sin 105 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
Таким образом, значение sin 285 равно \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

1б) Чтобы посчитать значение выражения \(\cos^2 15 - \cos^2 75\), мы можем использовать формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) и формулу косинуса двойного угла: \(\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\).

Заметим, что \(15 + 75 = 90\), поэтому мы можем использовать тригонометрическое тождество \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\) для 90 градусов:
\[
\cos^2 90 = 1 - \sin^2 90 \quad \text{(тождество)}
\]
Так как \(\cos 90 = 0\) и \(\sin 90 = 1\), мы получаем:
\[
0 = 1 - \sin^2 90 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 90 = 1
\]
Теперь, используя формулу для разности квадратов, получим:
\[
\cos^2 15 - \cos^2 75 = (\cos 15 + \cos 75)(\cos 15 - \cos 75)
\]
Применяя тригонометрические формулы для суммы и разности углов, получим:
\[
\cos 15 = \cos(45 - 30) = \cos 45 \cos 30 + \sin 45 \sin 30 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
\[
\cos 75 = \cos(45 + 30) = \cos 45 \cos 30 - \sin 45 \sin 30 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
Подставляя значения, получим:
\[
(\cos 15 + \cos 75)(\cos 15 - \cos 75) = \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)
\]
\[
= \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{4 \cdot \sqrt{12}}{16} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Таким образом, значение выражения \(\cos^2 15 - \cos^2 75\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

1в) Чтобы вычислить значение \(\cos 165\), мы можем использовать формулу косинуса угла разности: \(\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\).

Зная, что \(165 = 180 - 15\), мы можем выразить \(\cos 165\) через \(\cos 15\):
\[
\cos 165 = \cos(180 - 15) = \cos 180 \cos 15 + \sin 180 \sin 15
\]
Поскольку \(\cos 180 = -1\) и \(\sin 180 = 0\), у нас осталось только \(\cos 15\):
\[
\cos 165 = \cos 180 \cos 15 = -1 \cdot \cos 15 = -\cos 15
\]
Используя значение \(\cos 15\) из предыдущего ответа, мы можем подставить его и получить:
\[
\cos 165 = -\cos 15 = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
Таким образом, значение \(\cos 165\) равно \(-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

1г) Для вычисления значения выражения \(1 + \tan^2 \frac{9}{2} \tan 9\), мы можем использовать формулу тангенса суммы: \(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\).

Заметим, что \(\frac{9}{2} + 9 = \frac{27}{2}\), поэтому мы можем использовать эту формулу:
\[
\tan \frac{27}{2} = \frac{\tan \frac{9}{2} + \tan 9}{1 - \tan \frac{9}{2} \tan 9}
\]
Для нахождения значения \(\tan \frac{9}{2}\) мы можем использовать половинный угол:
\[
\tan \frac{9}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 9}{1 + \cos 9}} = \sqrt{\frac{1 - \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)}{1 + \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)}}
\]
\[
= \sqrt{\frac{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2})(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2})}{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2})(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}} = \sqrt{\frac{28 + 4\sqrt{6} - 4\sqrt{2}}{28}} = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{7}}
\]
Теперь мы можем вернуться к исходному выражению и подставить значения:
\[
1 + \tan^2 \frac{9}{2} \tan 9 = 1 + \left(\sqrt{\frac{7 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{7}}\right)^2 \cdot \tan 9
\]
После упрощения получаем:
\[
1 + \tan^2 \frac{9}{2} \tan 9 = 1 + \frac{7 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{7} \cdot \tan 9
\]

1д) Для вычисления значения выражения \(\sin 10 \cos 20 + \cos 10 \sin 20 / \cos 10 \cos 11 - \sin 19 \sin 11\), мы можем использовать формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов:
\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\) и \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\).

Применяя эти формулы, получаем:
\[
\sin 10 \cos 20 + \cos 10 \sin 20 = (\sin 10 \cos 20 + \cos 10 \sin 20)(\cos 10 \cos 11 - \sin 19 \sin 11) / (\cos 10 \cos 11 - \sin 19 \sin 11)
\]
\[
= (\sin 10 \cos 20 \cos 11 - \sin 10 \cos 20 \sin 11 + \cos 10 \sin 20 \cos 11 - \cos 10 \sin 20 \sin 11) / (\cos 10 \cos 11 - \sin 19 \sin 11)
\]
Применяя формулы для синуса и косинуса двойного угла, получаем:
\[
= (\sin(10 + 20) \cos 11 - \cos(10 + 20) \sin 11) / (\cos 10 \cos 11 - \sin 19 \sin 11)
\]
\[
= (\sin 30 \cos 11 - \cos 30 \sin 11) / (\cos 10 \cos 11 - \sin 19 \sin 11)
\]
Упрощая, получаем:
\[
= \left(\frac{1}{2} \cdot \cos 11 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 11\right) / (\cos 10 \cos 11 - \sin 19 \sin 11)
\]

1е) Чтобы вычислить значение \(\sin 18\), можем воспользоваться формулами для синуса и косинуса удвоенного угла:
\[
\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta
\]
Таким образом,
\[
\sin 18 = \sin (2 \cdot 9) = 2 \sin 9 \cos 9
\]
Мы дополняем до исходного выражения и получаем:
\[
2 \sin 9 \cos 9 = 2 \cdot \left(\frac{7 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{7}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)
\]