1. Представленная на рисунке диаграмма показывает неколлинеарные векторы →а, →b и →c. Постройте следующие векторы

Morskoy_Plyazh

47

Для решения задачи номер 1 мы можем воспользоваться следующими правилами работы с векторами.

а) Умножение вектора \(\vec{а}\) на 3:
Для этого мы умножим каждую компоненту вектора \(\vec{а}\) на 3 и получим новый вектор:

\[
\vec{а"} = 3\vec{а} = (3a_x, 3a_y, 3a_z)
\]

Таким образом, мы умножили каждую компоненту вектора на 3.

б) Умножение вектора \(\vec{b}\) на -2:
Аналогично, мы умножим каждую компоненту вектора \(\vec{b}\) на -2 и получим новый вектор:

\[
\vec{b"} = -2\vec{b} = (-2b_x, -2b_y, -2b_z)
\]

в) Выражение \(3\vec{а}-2\vec{b}+\vec{c}\) в виде векторной суммы:
Для этого мы сначала сложим векторы \(3\vec{а}\) и \(-2\vec{b}\), а затем прибавим вектор \(\vec{c}\) к получившейся сумме:

\[
3\vec{а}-2\vec{b}+\vec{c} = (3a_x, 3a_y, 3a_z) + (-2b_x, -2b_y, -2b_z) + (c_x, c_y, c_z)
\]

Таким образом, векторное выражение \(3\vec{а}-2\vec{b}+\vec{c}\) представляется в виде векторной суммы.

Для решения задачи номер 2 нам понадобится знание скалярного произведения векторов и свойств параллельных векторов.

Длина вектора \(\vec{ob}\) может быть найдена следующим образом:
\(|\vec{ob}| = |\vec{oa} + \vec{ab}|\)

Зная, что \(\vec{oa} = k \vec{a}\) и \(\vec{ab} = l \vec{b}\), мы можем записать:
\(|\vec{ob}| = |\vec{oa} + \vec{ab}| = |k \vec{a} + l \vec{b}|\)

Так как векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) параллельны (\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)), мы можем записать их отношение:
\(\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z} = \lambda\)

Тогда можем выразить вектор \(\vec{a}\) через вектор \(\vec{b}\):
\(\vec{a} = \lambda \vec{b}\)

Подставляя это в выражение для \(|\vec{ob}|\), получим:
\(|\vec{ob}| = |k \lambda \vec{b} + l \vec{b}| = |(k \lambda + l) \vec{b}|\)

Таким образом, длина вектора \(\vec{ob}\) равна \((k \lambda + l) |\vec{b}|\). Выражение для вектора \(\vec{a}\) позволяет установить отношение между компонентами векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), которое влияет на значение \(\lambda\) и, следовательно, на значение длины вектора \(\vec{ob}\). Вам необходимо предоставить значения \(k\) и \(l\) для того, чтобы было возможно определить значение длины вектора \(\vec{ob}\).