1) Представьте график непрерывной функции у = f (x) на интервале [-2; 5], если производная f `(x) больше 0 для всех

Sverkayuschiy_Dzhentlmen

29

Конечно, я могу помочь вам с этими задачами. Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы представить график функции \(y = f(x)\) на интервале \([-2; 5]\), нам необходимо использовать предоставленную информацию.

- Мы знаем, что производная \(f"(x)\) больше 0 для всех \(x\) на интервале \((-2; 5)\). Положительная производная означает, что функция \(f(x)\) строго возрастает на этом интервале. То есть, при увеличении значения \(x\), значение \(f(x)\) также увеличивается.
- Также есть две точки на графике, которые нам даны. \(f(-2) = -1\) и \(f(5) = 4\).

Из этих условий мы можем сделать следующие выводы:

- Так как функция строго возрастает на интервале \((-2; 5)\), то значение \(f(x)\) будет меньше -1 при \(x < -2\) и больше 4 при \(x > 5\).
- Мы знаем, что точка (-2, -1) лежит на графике функции, поэтому график должен проходить через эту точку.
- Аналогично, график также должен проходить через точку (5, 4).

Исходя из этих условий, мы можем построить график функции \(y = f(x)\) на интервале \([-2; 5]\), включая данные точки (-2, -1) и (5, 4). Отметим, что график должен быть непрерывным и удовлетворять всем условиям.

2) Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции \(y = 2 - \frac{4}{{0.5x - 1}}\), мы должны рассмотреть знак производной \(f"(x)\) на соответствующих интервалах.

Для начала, найдем производную \(f"(x)\) функции \(f(x)\):

\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(2 - \frac{4}{{0.5x - 1}}\right)\]

Для удобства расчетов, мы можем представить функцию в виде:

\[f(x) = 2 - 4(0.5x - 1)^{-1}\]

Посчитаем производную:

\[f"(x) = -4 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(0.5x - 1)^{-1}\]

Используя правило дифференцирования степенной функции, мы получим:

\[f"(x) = -4 \cdot (-1) \cdot (0.5x - 1)^{-2} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(0.5x - 1)\]

Далее упростим:

\[f"(x) = 4 \cdot (0.5x - 1)^{-2} \cdot 0.5\]

\[f"(x) = 2 \cdot (0.5x - 1)^{-2}\]

Теперь, чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции \(y\), мы рассмотрим знак производной \(f"(x)\) на интервалах.

- Если \(f"(x) > 0\), то функция \(y\) возрастает на указанном интервале.
- Если \(f"(x) < 0\), то функция \(y\) убывает на указанном интервале.

Давайте найдем интервалы возрастания и убывания:

\[
f"(x) = 2 \cdot (0.5x - 1)^{-2}
\]

Если \(f"(x) > 0\), то:

\[
2 \cdot (0.5x - 1)^{-2} > 0
\]

Так как квадрат никогда не может быть отрицательным, то мы должны найти интервалы, где знаменатель \((0.5x - 1)^{-2}\) положителен.

Заметим, что \((0.5x - 1)\) будет больше 0, если \(x > 2\).

Таким образом, интервал возрастания функции \(y = 2 - \frac{4}{{0.5x - 1}}\) будет \((2; +\infty)\), то есть \(x\) принадлежит интервалу больше 2.

Чтобы найти интервал убывания, нам нужно найти интервалы, где знаменатель \((0.5x - 1)^{-2}\) отрицательный.

Заметим, что \((0.5x - 1)\) будет меньше 0, если \(x < 2\).

Таким образом, интервал убывания функции \(y = 2 - \frac{4}{{0.5x - 1}}\) будет \((-\infty; 2)\), то есть \(x\) принадлежит интервалу меньше 2.

Надеюсь, что эта информация более чем достаточна для вашего понимания. Если остались еще вопросы - не стесняйтесь задать их!