1. При каких значениях n прямая будет параллельна плоскости 2x+4y−6z+7=0? 2. При каких значениях B и D прямая будет

Лука

40

1. Для определения взаимного положения прямой и плоскости необходимо рассмотреть их нормальные векторы. Нормальным вектором плоскости является вектор, координаты которого соответствуют коэффициентам перед переменными в уравнении плоскости. В данном случае нормальный вектор плоскости равен \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}\).

Если прямая параллельна плоскости, то ее направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости. Поэтому для определения, при каких значениях \(n\) прямая будет параллельна плоскости, необходимо найти направляющий вектор прямой.

Направляющий вектор прямой можно получить из уравнения прямой, заметив, что коэффициенты перед переменными в уравнении прямой являются координатами направляющего вектора. В данной задаче уравнения прямой не даны, поэтому можно представить уравнение прямой в параметрической форме \(x = x_0 + at\), \(y = y_0 + bt\), \(z = z_0 + ct\), где \(x_0, y_0, z_0\) — координаты произвольной точки на прямой, а \(a, b, c\) — произвольные числа.

Таким образом, направляющий вектор прямой будет иметь координаты \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\).

Так как прямая параллельна плоскости, то ее направляющий вектор должен быть коллинеарен нормальному вектору плоскости:

\[
\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \parallel \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}
\]

Это означает, что соответствующие компоненты векторов должны удовлетворять пропорции:

\[
\frac{a}{2} = \frac{b}{4} = \frac{c}{-6} = k
\]

где \(k\) — произвольное число.

Таким образом, чтобы прямая была параллельна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы отношение между компонентами направляющего вектора было равно отношению между соответствующими компонентами нормального вектора плоскости:

\[
\frac{a}{2} = \frac{b}{4} = \frac{c}{-6}
\]

Сократив отношение на общий множитель 2, получим:

\[
\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{-3}
\]

Таким образом, прямая будет параллельна плоскости в том случае, если ее направляющий вектор имеет компоненты, удовлетворяющие условию:

\[
\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{-3}
\]

2. Для определения положения прямой относительно плоскости необходимо рассмотреть их нормальные векторы. Нормальным вектором плоскости является вектор, координаты которого соответствуют коэффициентам перед переменными в уравнении плоскости. В данном случае нормальный вектор плоскости равен \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ B \\ -2 \end{pmatrix}\).

Если прямая находится в плоскости, то ее направляющий вектор должен быть ортогонален нормальному вектору плоскости. Поэтому для определения, при каких значениях \(B\) и \(D\) прямая будет находиться в плоскости, необходимо найти направляющий вектор прямой и условие на его ортогональность к нормальному вектору плоскости.

Как было упомянуто в предыдущем ответе, направляющий вектор прямой можно получить из уравнения прямой и представить его в виде \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\), где \(a, b, c\) — произвольные значения.

Так как прямая находится в плоскости, ее направляющий вектор должен быть ортогонален нормальному вектору плоскости:

\[
\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 4 \\ B \\ -2 \end{pmatrix}
\]

Это означает, что скалярное произведение этих векторов должно быть равно 0:

\[
a \cdot 4 + b \cdot B + c \cdot (-2) = 0
\]

Учитывая, что это равенство должно выполняться для всех значений \(a, b, c\), получаем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
4a - 2c = 0 \\
Ba = 0 \\
-2b - 2c = 0
\end{cases}
\]

Первое уравнение дает нам выражение \(c = 2a\), а третье уравнение дает \(b = -c = -2a\). Подставляя значения \(b\) и \(c\) во второе уравнение, получаем \(Ba = 0\). Если \(B = 0\), то уравнение выполняется при любом значении \(a\), и наоборот, если \(a = 0\), то уравнение также выполняется для любого \(B\).

Таким образом, чтобы прямая находилась в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент перед переменной \(y\) в уравнении плоскости равнялся 0 (\(B = 0\)) или чтобы коэффициент \(a\) направляющего вектора прямой равнялся 0 (\(a = 0\)).

Таким образом, мы получили два возможных условия для \(B\) и \(D\):

1) \(B = 0\) (при этом \(D\) может быть любым числом);
2) \(a = 0\) (при этом \(B\) и \(D\) могут быть любыми числами).