1) Просим вас нарисовать многоугольник с десятью сторонами, причем все эти стороны должны лежать на пяти прямых
1) Просим вас нарисовать многоугольник с десятью сторонами, причем все эти стороны должны лежать на пяти прямых.
2) Просим вас нарисовать многоугольник с двенадцатью сторонами, причем все эти стороны должны лежать на шести прямых.
3) Предположим, что прямая линия не проходит через вершины многоугольника. Ваша задача - доказать, что она пересекает многоугольник в четном количестве точек.
4) Просим вас нарисовать шесть отрезков, которые не имеют общих точек и которые нельзя соединить ломаной без самопересечений.
5) Представьте, что у нас есть два многоугольника, и все их вершины не принадлежат друг другу. Ваша задача - доказать
2) Просим вас нарисовать многоугольник с двенадцатью сторонами, причем все эти стороны должны лежать на шести прямых.
3) Предположим, что прямая линия не проходит через вершины многоугольника. Ваша задача - доказать, что она пересекает многоугольник в четном количестве точек.
4) Просим вас нарисовать шесть отрезков, которые не имеют общих точек и которые нельзя соединить ломаной без самопересечений.
5) Представьте, что у нас есть два многоугольника, и все их вершины не принадлежат друг другу. Ваша задача - доказать
Леонид 34
1) Для начала нарисуем пять прямых:\[
\begin{align*}
& \\
& \\
& \\
& \\
&
\end{align*}
\]
2) Теперь проведем по две стороны между каждыми двумя прямыми:
\[
\begin{align*}
& \| \\
& \| \\
& \| \\
& \| \\
& \| \\
& \| \\
\end{align*}
\]
3) Получился шестиугольник с шестью сторонами, где каждая сторона лежит на одной из шести прямых.
4) Прокладываем 6 отрезков:
\[
\begin{align*}
& ---- \\
& | \\
& | \\
& | \\
& | \\
& ---- \\
\end{align*}
\]
Как видно из рисунка, каждый отрезок имеет только две конечные точки.
5) Если имеются два многоугольника и все их вершины лежат на одних и тех же прямых, то мы можем провести прямую линию, соединив вершины каждого многоугольника в следующем порядке:
\[
\begin{array}{ccccccccc}
& A & B & C & D & E & F & G & A" \\
& P & Q & R & S & T & U & V & P"
\end{array}
\]
где \(ABCD...A"\) - вершины первого многоугольника, \(PQRST...P"\) - вершины второго многоугольника.
Можем заметить, что данная прямая линия пересекает каждую сторону каждого многоугольника в точках, где она пересекает прямые. Так как каждая сторона сторона пересекается ровно с одной точкой прямой линии, а многоугольники имеют четное количество сторон, то прямая линия пересекает многоугольник в четном количестве точек.
Описанные рисунки и объяснения помогут школьнику лучше понять поставленные задачи.