1. Проведите следующие операции с векторами: а) a + b б) a - c в) d + c г) c + a д) 4a е) 5a - 3c 2. Разложите векторы

Оксана

34

Конечно! Давайте решим задачи по порядку:

1. Проведите следующие операции с векторами:
а) \(a + b\):
Для сложения векторов, мы просто складываем соответствующие координаты. Таким образом, \(a + b = (1 + 5; 4 + 1; 0 + 1) = (6; 5; 1)\).
б) \(a - c\):
Вычитание векторов происходит путем вычитания соответствующих координат. Итак, \(a - c = (1 - 6; 4 - 3; 0 - 1) = (-5; 1; -1)\).
в) \(d + c\):
Аналогично, мы складываем соответствующие координаты. Поэтому \(d + c = (-6 + 6; 4 + 3; -2 + 1) = (0; 7; -1)\).
г) \(c + a\):
Порядок слагаемых не влияет на результат сложения векторов. Таким образом, \(c + a = (6 + 1; 3 + 4; 1 + 0) = (7; 7; 1)\).
д) \(4a\):
Чтобы умножить вектор на число, мы просто умножаем каждую координату на это число. Таким образом, \(4a = (4 \cdot 1; 4 \cdot 4; 4 \cdot 0) = (4; 16; 0)\).
е) \(5a - 3c\):
Аналогично, мы вычитаем соответствующие координаты. Итак, \(5a - 3c = (5 \cdot 1 - 3 \cdot 6; 5 \cdot 4 - 3 \cdot 3; 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1) = (-13; 7; -3)\).

2. Разложите векторы \(a\) {1; 4; 0}, \(b\) {5; 1; 1}, \(c\) {6; 3; 1}, \(d\) {-6; 4; -2} по координатным векторам \(i\), \(j\), \(k\):
Координатные векторы \(i\), \(j\), и \(k\) представляют собой векторы, у которых только одна из координат равна 1, а остальные равны нулю.
Таким образом, разложение вектора \(a\), например, будет иметь вид: \(a = 1 \cdot i + 4 \cdot j + 0 \cdot k\).

- Разложение вектора \(a\):
\(a = 1 \cdot i + 4 \cdot j + 0 \cdot k\).
- Разложение вектора \(b\):
\(b = 5 \cdot i + 1 \cdot j + 1 \cdot k\).
- Разложение вектора \(c\):
\(c = 6 \cdot i + 3 \cdot j + 1 \cdot k\).
- Разложение вектора \(d\):
\(d = -6 \cdot i + 4 \cdot j + (-2) \cdot k\).

3. Вычислите длину вектора \(k\) {2; 3; 0}:
Длина вектора вычисляется по формуле \(d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x\), \(y\), и \(z\) - координаты вектора.
В данном случае, \(k = {2; 3; 0}\), поэтому:
\(d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13}\).

4. Найдите расстояние между точками \(M1\) (1; 3; 2) и \(M2\) (0; 4; 1):
Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками.
В данном случае:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставляя значения точек \(M1\) и \(M2\) в эту формулу, мы получаем:

\[d = \sqrt{(0 - 1)^2 + (4 - 3)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\].

5. Найдите скалярное произведение векторов:
а) \(a \cdot b\):
Скалярное произведение двух векторов можно вычислить с помощью формулы:
\(a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z\).

Здесь:
\(a = {1; 4; 0}\),
\(b = {5; 1; 1}\).

Подставляем значения в формулу:

\(a \cdot b = 1 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 5 + 4 + 0 = 9\).

б) \(d \cdot c\):
Аналогично, подставляем значения векторов \(d\) и \(c\) в формулу для скалярного произведения:

\(d \cdot c = -6 \cdot 6 + 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = -36 + 12 - 2 = -26\).

6. Найдите длину медианы \(CK\) треугольника \(ABC\), если \(A\) (1;2;1), \(B\) (-4;6;3), \(C\) (-5;2;1):
Для нахождения длины медианы, нам нужно вычислить среднее арифметическое координат концов медианы.

Медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1 от вершины к противоположной стороне.

Координаты точки \(K\) можно найти как среднее арифметическое координат вершин треугольника \(A\), \(B\), \(C\).

Для данного треугольника:

\(K = \left(\frac{1 - 4 - 5}{3}, \frac{2 + 6 + 2}{3}, \frac{1 + 3 + 1}{3}\right) = (-2.67, 3.33, 1.00)\).

Теперь, чтобы найти длину вектора \(CK\), мы можем использовать формулу длины вектора:

\(d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).

Подставим значения координат вектора \(CK\):

\(d = \sqrt{(-2.67)^2 + 3.33^2 + 1.00^2} = \sqrt{7.1281 + 11.0889 + 1.0000} = \sqrt{19.217}\).

Округлим до двух знаков после запятой, получим примерно 4.38.

7. Найдите разность между предыдущими двумя ответами.