1) Пусть u=u(x,y,z) - функция, дифференцируемая по отношению к x, y и z, а c - постоянная. Тогда каков градиент функции

Весенний_Лес_1587

52

1) Градиент функции \( c + u \) может быть найден путем сложения градиента постоянной \( c \) и градиента функции \( u \). Градиент функции \( u \) в трехмерном пространстве задается следующим образом:

\[ \nabla u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\mathbf{k} \]

где \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) и \( \mathbf{k} \) - единичные векторы, соответствующие осям \( x \), \( y \) и \( z \) соответственно. Теперь, чтобы найти градиент функции \( c + u \), мы просто складываем градиент \( c \) с градиентом \( u \):

\[ \nabla (c + u) = \nabla c + \nabla u \]

2) Для нахождения производной скалярного поля \( u \) в точке \( M_0 \) по направлению вектора \( M_0M_1 \), мы используем формулу дифференциала:

\[ D_{\mathbf{v}} u = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}v_x + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}v_y + \frac{{\partial u}}{{\partial z}}v_z \]

где \( v_x \), \( v_y \) и \( v_z \) - компоненты вектора \( M_0M_1 \). В данном случае, \( M_0(2;-5;-1) \) и \( M_1(2;-1;2) \), поэтому вектор \( M_0M_1 \) равен:

\[ \mathbf{v} = (2-2)\mathbf{i} + (-1-(-5))\mathbf{j} + (2-(-1))\mathbf{k} = 0\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]

Теперь, подставим значения в формулу:

\[ D_{\mathbf{v}} u = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}(0) + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}(4) + \frac{{\partial u}}{{\partial z}}(3) \]

Мы должны вычислить парциальные производные \( \frac{{\partial u}}{{\partial x}} \), \( \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \) и \( \frac{{\partial u}}{{\partial z}} \) для функции \( u = (x^2)y + 2(y^2) + zx \). По очереди, возьмем производные:

\[ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2xy + z \]
\[ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = x^2 + 4y \]
\[ \frac{{\partial u}}{{\partial z}} = x \]

Подставляем найденные значения:

\[ D_{\mathbf{v}} u = (2xy + z)(0) + (x^2 + 4y)(4) + (x)(3) \]

Теперь, подставим значения координат точки \( M_0 \) в полученное выражение и вычислим производную:

\[ D_{\mathbf{v}} u = (2(2)(-5) + (-1))(0) + ((2)^2 + 4(-5))(4) + (2)(3) = 42 \]

3) Чтобы найти значение дивергенции векторного поля \( u = x\cos(y)\mathbf{i} - 3x\mathbf{j} + (e^z)x\mathbf{k} \) в точке \( A(-1;\pi;0) \), мы используем формулу дивергенции:

\[ \text{div} \, \mathbf{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \]

где \( u_x \), \( u_y \) и \( u_z \) - компоненты векторного поля \( \mathbf{u} \). Вычислим парциальные производные:

\[ \frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x\cos(y)) = \cos(y) \]
\[ \frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-3x) = 0 \]
\[ \frac{\partial u_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}((e^z)x) = xe^z \]

Подставляем найденные значения:

\[ \text{div} \, \mathbf{u} = \cos(y) + 0 + xe^z \]

Теперь, подставляем значения координат точки \( A \) в полученное выражение и вычисляем:

\[ \text{div} \, \mathbf{u} = \cos(\pi) + 0 + (-1)(e^0) = -1 \]

4) Модуль вектора rot(\( M_0 \)) может быть найден, используя следующую формулу:

\[ |\text{rot}(\mathbf{M_0})| = \sqrt{\left(\frac{\partial M_0_z}{\partial y} - \frac{\partial M_0_y}{\partial z}\right)^2 + \left(\frac{\partial M_0_x}{\partial z} - \frac{\partial M_0_z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial M_0_y}{\partial x} - \frac{\partial M_0_x}{\partial y}\right)^2} \]

Здесь \( \mathbf{M_0} \) - векторное поле, заданное как \( \mathbf{M_0} = -y\mathbf{i} + (x^2 z)\mathbf{j} - 2y\mathbf{k} \). Для нахождения каждой частной производной воспользуемся правилами дифференцирования:

\[ \frac{\partial M_0_z}{\partial y} = 0 \]
\[ \frac{\partial M_0_y}{\partial z} = x^2 \]
\[ \frac{\partial M_0_x}{\partial z} = 0 \]
\[ \frac{\partial M_0_z}{\partial x} = 0 \]
\[ \frac{\partial M_0_y}{\partial x} = 0 \]
\[ \frac{\partial M_0_x}{\partial y} = -1 \]

Теперь, подставляем значения в формулу и вычисляем:

\[ |\text{rot}(\mathbf{M_0})| = \sqrt{(0 - x^2)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{x^4 + 1} \]

Подставляем значения координат точки \( M_0 \) в полученное выражение:

\[ |\text{rot}(\mathbf{M_0})| = \sqrt{(1)^4 + 1} = \sqrt{2} \]

5) Для нахождения потока вектора \( \mathbf{a} = (x-2y)\mathbf{i} + (2y-3z)\mathbf{j} + (z+4yx)\mathbf{k} \) через поверхность цилиндра \( x^2 + y^2 = 4 \), \( 0 \leq z \leq 3 \), в направлении внешней нормали, мы используем формулу потока:

\[ \text{Flux} = \iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS \]

где \( \iint_S \) обозначает двойной интеграл по поверхности \( S \), \( \mathbf{a} \) - вектор, \( \mathbf{n} \) - единичная нормаль к поверхности, \( dS \) - элемент площади поверхности. Обратите внимание, что ориентация нормали должна быть выбрана так, чтобы она указывала наружу из цилиндра.

Для данного цилиндра, единичная нормаль \( \mathbf{n} \) будет представлена вектором \( (n_x, n_y, n_z) \), где \( n_x \), \( n_y \) и \( n_z \) - производные координат цилиндрической системы. Вектор \( \mathbf{n} \) указывает наружу из цилиндра, поэтому \( n_x = 0 \), \( n_y = 0 \) и \( n_z = 1 \).

Теперь, подставляем значения в формулу и вычисляем:

\[ \text{Flux} = \iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_S ((x-2y)\mathbf{i} + (2y-3z)\mathbf{j} + (z+4yx)\mathbf{k}) \cdot (0\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k}) \, dS \]
\[ = \iint_S (z+4yx) \, dS \]

Теперь, чтобы выразить элемент площади \( dS \) через координаты цилиндра, мы можем использовать замену переменных \( (x, y, z) \rightarrow (r, \theta, z) \), где \( r \) - радиус, \( \theta \) - угол и \( z \) - высота. В этой замене, элемент площади \( dS \) может быть записан как \( r \, dr \, d\theta \).

Теперь, перейдем к интегрированию:

\[ \text{Flux} = \iint_S (z+4yx) \, dS = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (z+4yx) \cdot r \, dr \, d\theta \]

Выполним первый интеграл:

\[ \text{Flux} = \int_0^{2\pi} \left(\int_0^2 (z+4yx) \cdot r \, dr\right) \, d\theta \]

Теперь, выполним внутренний интеграл:

\[ \int_0^2 (z+4yx) \cdot r \, dr = \int_0^2 (z+4xy) \cdot r \, dr = \int_0^2 (zr+4xyr) \, dr \]

Выполним умножение и интегрирование:

\[ \int_0^2 (zr+4xyr) \, dr = \left[\frac{1}{2}zr^2 + 2xyr^2\right]_0^2 = z(2^2) + 2xy(2^2) - z(0) - 2xy(0) \]
\[ = 4z + 8xy \]

Теперь подставим результат в оставшуюся часть формулы:

\[ \text{Flux} = \int_0^{2\pi} \left(\int_0^2 (z+4yx) \cdot r \, dr\right) \, d\theta = \int_0^{2\pi} (4z + 8xy) \, d\theta \]

Интегрируем:

\[ \int_0^{2\pi} (4z + 8xy) \, d\theta = \left[4z\theta + 8xy\theta\right]_0^{2\pi} = (4z(2\pi)+8xy(2\pi)) - (4z(0)+8xy(0)) \]
\[ = 8\pi z + 16\pi xy \]

Округлим ответ до сотых:

\[ \text{Flux} \approx 8\pi z + 16\pi xy \approx 8\pi(3) + 16\pi(2)(0) \approx 24\pi \]

Ответ: Поток вектора \( \mathbf{a} \) через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали округляется до сотых и равен 24\(\pi\).