1. Раскройте равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), при условии AB = BC и ∠ABD = ∠CBD. 2. Определите длины сторон

Ledyanoy_Serdce

45

1. Раскройте равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), при условии AB = BC и ∠ABD = ∠CBD.
Решение: По условию, имеем AB = BC и ∠ABD = ∠CBD. Таким образом, по двум сторонам и углу треугольника, мы можем сделать вывод о равенстве этих треугольников. Таким образом, треугольники ABD и CBD равны друг другу.

2. Определите длины сторон равнобедренного треугольника, если его периметр составляет 30 см, а одна из боковых сторон является на 6 см короче основания.
Решение: Пусть основание равнобедренного треугольника равно x, а каждая из боковых сторон равна y. По условию, периметр треугольника равен 30 см, то есть x + y + y = 30, или x + 2y = 30. Кроме того, известно, что одна из боковых сторон является на 6 см короче основания, то есть y = x - 6. Подставляя это значение в уравнение x + 2y = 30, получаем x + 2(x - 6) = 30. Решая это уравнение, находим x = 12 и y = 6. Таким образом, основание треугольника равно 12 см, а каждая из боковых сторон равна 6 см.

3. Докажите, что AM = CK, где M и K являются точками на основании AC равнобедренного треугольника ABC, и ∠ABM = ∠CBK, причем точка M находится между точками A и K.
Решение: Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠ABM = ∠CBK. Проведем биссектрису треугольника ABC, пересекающую сторону AC в точке N. По свойствам биссектрисы, отрезок BN делит сторону AB пропорционально отрезкам NC и AC. Также, отрезок BN делит угол ABC пополам. Из условия равнобедренности треугольника, у нас есть AB = AC. Таким образом, по свойству биссектрисы, BN равно NC, и, следовательно, AM равно CK.

4. Доказать, что BO = DO, если известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45).
Решение: Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = AD и BC = DC. Проведем медиану BO, пересекающую сторону AC в точке M. По свойствам медианы, отрезок BO делит сторону AC пополам. Также, по условию, имеем AB = AD, следовательно, отрезок AM также делит сторону AC пополам. Тогда точка M является серединой стороны AC. Так как BM - это медиана треугольника ABC, то она делит сторону AC пополам, и, следовательно, BM = MC. Таким образом, отрезки BM и MO равны между собой по длине, следовательно, BO = DO.

5. Найти длину стороны AC треугольника ABC, если медиана BM перпендикулярна его биссектрисе.
Решение: Пусть x - длина отрезка AM, y - длина отрезка MC, и h - длина медианы BM. По условию, медиана BM перпендикулярна биссектрисе. Значит, у треугольника ABC у нас есть два равных и прямых угла, а значит треугольник ABC - прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника, медиана является половиной гипотенузы. Таким образом, h = AC/2. Также, по свойствам биссектрисы, AM/AC = BM/BC, или x/(x+y) = h/(h+y). Подставляя h = AC/2, получаем x/(x+y) = (AC/2)/((AC/2)+y). Решая это уравнение, находим AC = 3h. Таким образом, длина стороны AC треугольника ABC равна 3 длинам медианы BM.